Практика 3. Предел функции и неопределённости

Практика про пределы функций. Сначала определение на языке $\varepsilon$ – $\delta$ и одно доказательство по нему, дальше — практическая часть: как считать пределы, не возвращаясь каждый раз к определению. Для этого нужны арифметика пределов, «арифметика» бесконечно малых и бесконечно больших и приёмы раскрытия неопределённостей.

Алгоритм для любого предела

Сначала подставить предельное значение. Получилось число — это ответ. Получилось $\left[\frac{k}{0}\right]$ при $k \ne 0$ — ответ $\infty$ . Получилась неопределённость $\left[\frac00\right]$ , $\left[\frac\infty\infty\right]$ или $[\infty - \infty]$ — преобразовать выражение приёмом из разделов 5–6 и подставить снова.

1. Определение предела функции

1.1. Определение на языке эпсилон-дельта

Определение 1. Число $A$ называется пределом функции $f$ при $x \to x_0$ , если

$\forall \varepsilon > 0\ \ \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0:\quad 0 < |x - x_0| < \delta \ \Rightarrow\ |f(x) - A| < \varepsilon.$

Пишут $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$ .

Словами: как бы мало ни было допустимое отклонение $\varepsilon$ значения от $A$ , найдётся такая окрестность точки $x_0$ радиуса $\delta$ , что все $x$ из неё, кроме самой $x_0$ , дают значения $f(x)$ в пределах этого отклонения. Запись $\delta(\varepsilon)$ подчёркивает, что $\delta$ подбирается по $\varepsilon$ .

Условие 0 < |x − x₀|

Сама точка $x_0$ из рассмотрения исключается: предел не зависит от значения $f(x_0)$ , и функция в $x_0$ может быть вообще не определена. Именно поэтому существуют пределы вида $\left[\frac00\right]$ из раздела 6: в самой точке дробь не определена, а предел есть.

1.2. Доказательство по определению

Пример 1. Докажем, что $\lim\limits_{x \to 2} (7x + 4) = 18$ .

Здесь $f(x) = 7x + 4$ , $x_0 = 2$ , $A = 18$ .

Выписываем величину, которую надо сделать меньше $\varepsilon$ , и упрощаем: $|f(x) - A| = |7x + 4 - 18| = |7x - 14| = 7|x - 2|$ .
Требуем $7|x - 2| < \varepsilon$ , то есть $|x - 2| < \dfrac{\varepsilon}{7}$ .
Это и есть условие $|x - x_0| < \delta$ при $\delta = \dfrac{\varepsilon}{7}$ .
Проверка: для любого $\varepsilon > 0$ берём $\delta = \dfrac{\varepsilon}{7}$ . Если $0 < |x - 2| < \delta$ , то $|f(x) - 18| = 7|x - 2| < 7 \cdot \dfrac{\varepsilon}{7} = \varepsilon$ . $\blacksquare$

Например, при $\varepsilon = 0{,}1$ подходит $\delta = \dfrac{1}{70}$ . Любое меньшее $\delta$ тоже подходит: определение требует существования хотя бы одного.

Тот же расчёт для любой линейной функции $f(x) = kx + b$ с $k \ne 0$ : $|f(x) - (kx_0 + b)| = |k| \cdot |x - x_0|$ , поэтому $\delta = \dfrac{\varepsilon}{|k|}$ .

1.3. Предел на бесконечности и бесконечный предел

В примерах дальше $x$ стремится к бесконечности, а пределы бывают бесконечными. Определения строятся по тому же шаблону, меняются только окрестности:

$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A$ , если $\forall \varepsilon > 0\ \exists M > 0:\ |x| > M \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon$ ;
$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty$ , если $\forall E > 0\ \exists \delta > 0:\ 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)| > E$ .

Для последовательностей $n \to \infty$ всё то же самое, только $n$ натуральное.

2. Арифметика пределов

Доказывать каждый предел по определению долго. Вместо этого пользуются теоремой, которая сама доказывается через определение один раз.

Теорема 1. Пусть существуют конечные пределы $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ и $\lim\limits_{x \to x_0} g(x)$ , $k$ — число. Тогда

Правило	Формула
Сумма	$\lim (f(x) + g(x)) = \lim f(x) + \lim g(x)$
Множитель	$\lim (k f(x)) = k \lim f(x)$
Произведение	$\lim (f(x) g(x)) = \lim f(x) \cdot \lim g(x)$
Частное	$\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$ при $\lim g(x) \ne 0$

Все пределы берутся при $x \to x_0$ .

Из теоремы следует, что предел многочлена в точке равен его значению, а предел дроби многочленов — значению дроби, если знаменатель в точке не равен нулю.

Пример 2.

$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 + 1}{3x^3 + 5} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{3 \cdot 8 + 5} = \frac{9}{29}.$

Знаменатель в точке $2$ равен $29 \ne 0$ , поэтому достаточно подстановки.

Условия теоремы

Правила работают, только когда оба предела конечны, а для частного ещё и $\lim g(x) \ne 0$ . Если хотя бы одно условие нарушено, получается одна из ситуаций раздела 3 или неопределённость раздела 4.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие

Определение 2. Функция $f$ называется бесконечно малой при $x \to x_0$ , если $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0$ , и бесконечно большой, если $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty$ .

В квадратных скобках пишут не числа, а тип выражения: $[0]$ — бесконечно малая, $[\infty]$ — бесконечно большая, $k$ — функция с конечным ненулевым пределом (в частности, константа). Тогда верны правила:

Запись	Смысл	Пример при $x \to \infty$
$[0] + [0] = [0]$ , $[0] - [0] = [0]$	сумма и разность бесконечно малых — бесконечно малая	$\frac1x + \frac1{x^2} \to 0$
$[0] \cdot [0] = [0]$	произведение бесконечно малых — бесконечно малая	$\frac1x \cdot \frac1x \to 0$
$[0] \cdot k = [0]$	бесконечно малая на ограниченную — бесконечно малая	$\frac5x \to 0$
$[+\infty] + [+\infty] = [+\infty]$	бесконечности одного знака складываются	$x + x^2 \to +\infty$
$[\infty] \cdot [\infty] = [\infty]$		$x \cdot x^2 \to \infty$
$k \cdot [\infty] = [\infty]$	при $k \ne 0$	$3x \to \infty$
$\dfrac{k}{[\infty]} = [0]$	делим на бесконечно большую	$\frac{5}{x^3} \to 0$
$\dfrac{k}{[0]} = [\infty]$	при $k \ne 0$	$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$

Это не арифметика чисел

$\frac{k}{[0]} = [\infty]$ не значит, что на ноль можно делить: это сокращённая запись утверждения про пределы. Условия важны: без $k \ne 0$ правило $\frac{k}{[0]} = [\infty]$ не работает, а сумма бесконечностей разных знаков $[+\infty] + [-\infty]$ — уже неопределённость, раздел 4.

4. Неопределённости

Выражения

$\left[\frac{0}{0}\right], \qquad \left[\frac{\infty}{\infty}\right], \qquad [\infty - \infty]$

называются неопределёнными: по типу слагаемых или множителей ответ предсказать нельзя, он зависит от конкретных функций.

Почему нельзя. Все три дроби ниже при $x \to 0$ имеют вид $\left[\frac00\right]$ , а пределы у них разные:

$\frac{x^2}{x} = x \to 0, \qquad \frac{x}{x} = 1 \to 1, \qquad \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \to \infty.$

Так же при $x \to +\infty$ разность $(x + 5) - x$ вида $[\infty - \infty]$ стремится к $5$ , а $x^2 - x$ того же вида — к $+\infty$ .

Раскрыть неопределённость — преобразовать выражение так, чтобы после подстановки получился определённый ответ.

5. Неопределённость бесконечность на бесконечность

5.1. Вынос старшей степени

Приём: в числителе и знаменателе вынести за скобки старшую степень переменной. Всё, что останется в скобках, кроме старших коэффициентов, имеет вид $\frac{k}{x^m}$ и стремится к нулю.

Пример 3.

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{3x^3 + 5} = \left[\frac{\infty}{\infty}\right] = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 \left(2 + \frac{1}{x^2}\right)}{x^3 \left(3 + \frac{5}{x^3}\right)}.$

Так как $\frac{1}{x^2} \to 0$ и $\frac{5}{x^3} \to 0$ , скобки стремятся к $2$ и $3$ :

$= \lim_{x \to \infty} \frac{2}{3x} = 0.$

Пример 4.

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + x^2 - 1}{4x^3 + 5} = \left[\frac{\infty}{\infty}\right] = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 \left(1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}\right)}{x^3 \left(4 + \frac{5}{x^3}\right)} = \frac{1}{4}.$

Степени $x^3$ сократились, а скобки стремятся к $1$ и $4$ .

Правило для дроби многочленов $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ при $x \to \infty$ сразу следует из приёма:

Степени	Предел
$\deg P < \deg Q$	$0$ (пример 3)
$\deg P = \deg Q$	отношение старших коэффициентов (пример 4)
$\deg P > \deg Q$	$\infty$

5.2. Корни разных степеней

С корнями приём тот же, только степени дробные: $\sqrt[m]{n^k} = n^{k/m}$ .

Пример 5.

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n^2 + 1} + \sqrt[4]{n^5 + 3}}{\sqrt[5]{3n + n^4} + \sqrt[3]{2 + 3n + 8n^2}}.$

Под каждым корнем выносим старшую степень:

$\sqrt[3]{n^2 \left(1 + \tfrac{1}{n^2}\right)} + \sqrt[4]{n^5 \left(1 + \tfrac{3}{n^5}\right)} \quad\text{и}\quad \sqrt[5]{n^4 \left(\tfrac{3}{n^3} + 1\right)} + \sqrt[3]{n^2 \left(\tfrac{2}{n^2} + \tfrac{3}{n} + 8\right)}.$

Скобки стремятся к $1$ , $1$ , $1$ и $8$ , поэтому слагаемые ведут себя как $n^{2/3}$ , $n^{5/4}$ , $n^{4/5}$ и $\sqrt[3]{8}\, n^{2/3} = 2n^{2/3}$ . Сравниваем показатели: в числителе старший $\frac54 > \frac23$ , в знаменателе старший $\frac45 > \frac23$ . Выносим старшие:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{5/4} \left(1 + \frac{1}{n^{7/12}}\right)}{n^{4/5} \left(1 + \frac{2}{n^{2/15}}\right)} = \lim_{n \to \infty} n^{9/20} = \infty.$

Здесь $\frac54 - \frac23 = \frac{7}{12}$ , $\frac45 - \frac23 = \frac{2}{15}$ и $\frac54 - \frac45 = \frac{9}{20} > 0$ .

Коэффициенты под корнем

Коэффициент при старшей степени тоже уходит под корень: $\sqrt[3]{8n^2} = 2n^{2/3}$ , а не $8n^{2/3}$ и не $n^{2/3}$ . В примере 5 ответ $\infty$ от этого не зависит, но при равных старших показателях в числителе и знаменателе коэффициент и есть ответ.

6. Неопределённость ноль на ноль

6.1. Дробь многочленов: разложение на множители

Если $P(x_0) = 0$ , то многочлен $P(x)$ делится на $(x - x_0)$ без остатка. Поэтому в неопределённости $\left[\frac00\right]$ для дроби многочленов при $x \to x_0$ и числитель, и знаменатель содержат множитель $(x - x_0)$ . Его выделяют делением столбиком или подбором и сокращают. Сокращать законно, потому что по определению 1 значение $x = x_0$ не рассматривается.

Пример 6.

$\lim_{x \to -1} \frac{x^3 - 3x - 2}{x^3 + 2x^2 - x - 2}.$

Подстановка: числитель $-1 + 3 - 2 = 0$ , знаменатель $-1 + 2 + 1 - 2 = 0$ , неопределённость $\left[\frac00\right]$ . Выделяем множитель $(x + 1)$ :

$x^3 - 3x - 2 = (x + 1)(x^2 - x - 2), \qquad x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x + 1)(x^2 + x - 2).$

Сокращаем и подставляем снова:

$\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x^2 + x - 2} = \left[\frac{1 + 1 - 2}{1 - 1 - 2}\right] = \left[\frac{0}{-2}\right] = 0.$

Проверить разложение легко: раскрыть скобки. $(x + 1)(x^2 - x - 2) = x^3 - x^2 - 2x + x^2 - x - 2 = x^3 - 3x - 2$ .

6.2. Корни: домножение на сопряжённое

Если в дроби корни, неопределённость создаёт разность, которая обращается в ноль. Её домножают на «сопряжённое» выражение, чтобы корни исчезли по формулам сокращённого умножения:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2, \qquad (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3.$

Пример 7.

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{3x^2 - 4} - 2}{\sqrt{2 + x} - \sqrt{2x}}.$

Подстановка: $\sqrt[3]{8} - 2 = 0$ и $\sqrt4 - \sqrt4 = 0$ , неопределённость $\left[\frac00\right]$ .

Обозначим $a = \sqrt[3]{3x^2 - 4}$ . Числитель домножаем на $a^2 + 2a + 4$ — получится $a^3 - 8 = 3x^2 - 12$ . Знаменатель домножаем на $\sqrt{2 + x} + \sqrt{2x}$ — получится $(2 + x) - 2x = 2 - x$ . Чтобы дробь не изменилась, на те же множители домножаем и другую часть:

$\frac{a - 2}{\sqrt{2 + x} - \sqrt{2x}} = \frac{(3x^2 - 12)\left(\sqrt{2 + x} + \sqrt{2x}\right)}{\left(a^2 + 2a + 4\right)(2 - x)}.$

Раскладываем $3x^2 - 12 = 3(x - 2)(x + 2)$ , замечаем $2 - x = -(x - 2)$ и сокращаем на $(x - 2)$ :

$= -\frac{3(x + 2)\left(\sqrt{2 + x} + \sqrt{2x}\right)}{a^2 + 2a + 4}.$

Теперь подстановка: $a \to 2$ , поэтому $a^2 + 2a + 4 \to 12$ , а $\sqrt{2 + x} + \sqrt{2x} \to 4$ :

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{3x^2 - 4} - 2}{\sqrt{2 + x} - \sqrt{2x}} = -\frac{3 \cdot 4 \cdot 4}{12} = -4.$

Множитель с ненулевым пределом можно заменить числом

На практике множитель $a^2 + 2a + 4$ сразу заменяют его пределом $12$ , как только видно, что он не обращается в ноль. Это законно по правилу произведения из теоремы 1. Заменять числом множитель, который стремится к нулю, нельзя: он и создаёт неопределённость.

Частые ошибки

В определении предела пишут $|x - x_0| < \delta$ без $0 <$ . Тогда в определение попадает значение $f(x_0)$ , а оно на предел не влияет.
Применяют правило частного при $\lim g(x) = 0$ . Сначала проверьте знаменатель.
Считают $\left[\frac00\right] = 1$ , $\left[\frac\infty\infty\right] = 1$ или $[\infty - \infty] = 0$ . Это неопределённости, ответ зависит от функций.
Выносят не старшую степень. В каждой части дроби сначала найдите наибольший показатель, особенно когда корни разных степеней.
Теряют коэффициент под корнем: $\sqrt[3]{8n^2} = 2n^{2/3}$ .
Домножают на сопряжённое только числитель. Дробь меняется; домножать нужно числитель и знаменатель на одно и то же.
Сокращают на $(x - x_0)$ , не проверив, что множитель есть в обеих частях. Проверяйте разложение раскрытием скобок.
В доказательстве по определению подбирают $\delta$ , но не проверяют, что при нём действительно $|f(x) - A| < \varepsilon$ .

Мини-тренажёр

Докажите по определению, что $\lim\limits_{x \to 1} (3x - 2) = 1$ . Какое $\delta(\varepsilon)$ подходит?
Для $\lim\limits_{x \to 2} (7x + 4) = 18$ найдите $\delta$ при $\varepsilon = 0{,}01$ .
Какие из выражений — неопределённости: $\left[\frac00\right]$ , $\left[\frac{5}{0}\right]$ , $[\infty - \infty]$ , $[0 \cdot 7]$ , $\left[\frac\infty\infty\right]$ ?
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5x^3 - x}{2x^3 + 7x^2}$ .
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^4 + 1}{x^3 - 2}$ .
$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ .
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ .
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$ .
$\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$ .
$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt n + \sqrt[3]{n}}{\sqrt{4n} + 1}$ .

Ответы

$|3x - 2 - 1| = 3|x - 1| < \varepsilon$ при $|x - 1| < \dfrac{\varepsilon}{3}$ , так что $\delta = \dfrac{\varepsilon}{3}$ .
$\delta = \dfrac{0{,}01}{7} = \dfrac{1}{700}$ .
$\left[\frac00\right]$ , $[\infty - \infty]$ и $\left[\frac\infty\infty\right]$ . $\left[\frac50\right] = \infty$ , $[0 \cdot 7] = 0$ .
Степени равны, отношение старших коэффициентов: $\dfrac52$ .
Степень числителя больше: $\infty$ .
$\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 \to 6$ .
$\dfrac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} \to \dfrac32$ .
Домножаем на $\sqrt{1 + x} + 1$ : $\dfrac{x}{x\left(\sqrt{1 + x} + 1\right)} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} \to \dfrac12$ .
$[\infty - \infty]$ ; домножаем и делим на $\sqrt{x^2 + x} + x$ : $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \frac1x} + 1} \to \dfrac12$ .
$\sqrt{4n} = 2\sqrt n$ ; выносим $\sqrt n$ : $\dfrac{1 + n^{-1/6}}{2 + n^{-1/2}} \to \dfrac12$ .

Шпаргалка

Понятие	Суть
Предел по Коши	$\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0:\ 0 < \lvert x - x_0\rvert < \delta \Rightarrow \lvert f(x) - A\rvert < \varepsilon$
Доказательство по определению	упростить $\lvert f(x) - A\rvert$ до $C \cdot \lvert x - x_0\rvert$ , взять $\delta = \varepsilon / C$
Арифметика пределов	сумма, множитель, произведение, частное — при конечных пределах и $\lim g \ne 0$
Бесконечно малая	$\lim f = 0$ , тип $[0]$
Бесконечно большая	$\lim f = \infty$ , тип $[\infty]$
Определённые случаи	$\frac{k}{[\infty]} = [0]$ , $\frac{k}{[0]} = [\infty]$ при $k \ne 0$ , $[0] \cdot k = [0]$ , $k \cdot [\infty] = [\infty]$
Неопределённости	$\left[\frac00\right]$ , $\left[\frac\infty\infty\right]$ , $[\infty - \infty]$
$\left[\frac\infty\infty\right]$	вынести старшую степень; для многочленов сравнить степени
Корни	$\sqrt[m]{n^k} = n^{k/m}$ , коэффициент тоже под корень
$\left[\frac00\right]$ у многочленов	выделить и сократить $(x - x_0)$
$\left[\frac00\right]$ с корнями	домножить на сопряжённое: $a^2 - b^2$ , $a^3 - b^3$
$[\infty - \infty]$ с корнем	домножить и разделить на сумму, получить дробь