Практика 4. Первый замечательный предел и эквивалентные бесконечно малые

Продолжение практики 3: неопределённость $\left[\frac00\right]$, только теперь не у дробей многочленов, а у дробей с синусами, экспонентами, логарифмами и корнями. Такие пределы не раскладываются на множители. Основной инструмент — эквивалентные бесконечно малые: множитель заменяют более простым, и предел от этого не меняется. Вся таблица эквивалентностей выводится из первого замечательного предела $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

1. Повторение: многочлены

Пример 1.

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 1}{2x^2 - x - 1}.$

Подстановка: $\frac{1 - 2 + 1}{2 - 1 - 1} = \left[\frac00\right]$. Как в разделе 6 практики 3, выделяем множитель $(x - 1)$:

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2, \qquad 2x^2 - x - 1 = (x - 1)(2x + 1),$

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(2x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{2x + 1} = \frac{0}{3} = 0.$

А вот пределы

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \left[\frac{\sin 0}{0}\right] = \left[\frac00\right], \qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{5x}}{\sin 4x} = \left[\frac00\right]$

на множители не раскладываются: $\sin x$ и $e^x$ не многочлены. Для них нужен новый приём.

2. Первый замечательный предел

Теорема 1. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$

Доказательство. Пусть сначала $0 < x < \frac{\pi}{2}$. На окружности радиуса $R$ с центром $O$ отложим угол $x$ (в радианах) от луча $OB$; $A$ — точка на окружности, $C$ — точка пересечения луча $OA$ с касательной к окружности в точке $B$.

Сравниваем площади трёх вложенных фигур:

Фигуры вложены, поэтому

$\frac12 R^2 \sin x < \frac12 R^2 x < \frac12 R^2 \operatorname{tg} x.$

Делим на $\frac12 R^2 \sin x > 0$:

$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}, \qquad\text{то есть}\qquad \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.$

При $x \to 0$ левая часть $\cos x \to 1$, правая равна $1$, поэтому средняя, зажатая между ними, тоже стремится к $1$ (теорема о двух милиционерах). Для $-\frac{\pi}{2} < x < 0$ то же неравенство верно, потому что $\frac{\sin x}{x}$ и $\cos x$ — чётные функции. $\blacksquare$

3. Эквивалентные бесконечно малые

Определение 1. Пусть $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ — бесконечно малые при $x \to x_0$. Если

$\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1,$

то они называются эквивалентными: $\alpha(x) \sim \beta(x)$ при $x \to x_0$.

Теорема 1 в этих терминах: $\sin x \sim x$ при $x \to 0$.

Утверждение 1. Если $\alpha \sim \alpha_1$, то в произведении и частном $\alpha$ можно заменить на $\alpha_1$: $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \lim \frac{\alpha_1(x)}{\beta(x)}$.

Доказательство. $\dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{\alpha}{\alpha_1} \cdot \dfrac{\alpha_1}{\beta}$, и первый множитель стремится к $1$. $\blacksquare$

Эквивалентность верна не только для $x$, но и для любой бесконечно малой $u(x)$ вместо него: если $u(x) \to 0$, то $\sin u(x) \sim u(x)$.

Пример 2.

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \left[\frac00\right].$

При $x \to 0$ аргумент $3x \to 0$, поэтому $\sin 3x \sim 3x$:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{x} = 3.$

4. Когда аргумент не стремится к нулю

Пример 3.

$\lim_{x \to \pi/3} \frac{\sin 3x}{x - \pi/3} = \left[\frac00\right].$

Неопределённость есть, но при $x \to \frac{\pi}{3}$ аргумент $3x \to \pi \ne 0$. Заменять $\sin 3x$ на $3x$ нельзя: эквивалентность $\sin u \sim u$ требует $u \to 0$.

Делаем замену $y = x - \frac{\pi}{3}$, тогда $y \to 0$ и $x = y + \frac{\pi}{3}$:

$\sin 3x = \sin(3y + \pi) = -\sin 3y,$

$\lim_{x \to \pi/3} \frac{\sin 3x}{x - \pi/3} = -\lim_{y \to 0} \frac{\sin 3y}{y} = -\lim_{y \to 0} \frac{3y}{y} = -3.$

5. Таблица эквивалентностей

При $x \to 0$ (и при замене $x$ на любую бесконечно малую $u(x)$):

Эквивалентны друг другу бесконечно малые, поэтому пишут $e^x - 1 \sim x$, а не $e^x \sim 1 + x$: сами $e^x$ и $1 + x$ стремятся к $1$. На практике в числителе подставляют «рабочую запись» $e^x \approx 1 + x$ и следят, чтобы после сокращения единиц что-то осталось.

Последняя строка выводится из первой. По формуле двойного угла $\cos x = 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}$, а $\sin \frac{x}{2} \sim \frac{x}{2}$:

$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \sim 2 \cdot \frac{x^2}{4} = \frac{x^2}{2}.$

6. Примеры на эквивалентности

Пример 4.

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2/2}{x^2} = \frac12.$

Пример 5.

$\lim_{x \to 0} \frac{2\arcsin x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x} = \frac23.$

Пример 6.

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{5x}}{\sin 4x}.$

Числитель: $e^{2x} - e^{5x} = (e^{2x} - 1) - (e^{5x} - 1) \approx 2x - 5x = -3x$. Знаменатель: $\sin 4x \sim 4x$.

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{5x}}{\sin 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{-3x}{4x} = -\frac34.$

Пример 7.

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{4x} - e^{3x}}{\cos 2x - \cos 5x}.$

Подставляем рабочие записи:

$e^{4x} \approx 1 + 4x, \quad e^{3x} \approx 1 + 3x, \quad \cos 2x \approx 1 - \frac{(2x)^2}{2} = 1 - 2x^2, \quad \cos 5x \approx 1 - \frac{25x^2}{2}.$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 + 4x - 1 - 3x}{1 - 2x^2 - 1 + 12{,}5x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{10{,}5\,x^2} = \left[\frac{1}{0}\right] = \infty.$

Проверка через разность косинусов: $\cos 2x - \cos 5x = 2 \sin \frac{7x}{2} \sin \frac{3x}{2} \sim 2 \cdot \frac{7x}{2} \cdot \frac{3x}{2} = \frac{21}{2} x^2 = 10{,}5\,x^2$, совпадает.

Пример 8. Корни — через $(1 + u)^m \approx 1 + mu$:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[7]{1 + 3x} - \sqrt[3]{1 - \frac{x}{7}}}{\sqrt{4 + 5x} - \sqrt[4]{16 - x}}.$

Подстановка: $\frac{1 - 1}{2 - 2} = \left[\frac00\right]$. В знаменателе единицу под корнем нужно сначала получить, вынося константу:

$\sqrt{4 + 5x} = 2\left(1 + \tfrac{5x}{4}\right)^{1/2} \approx 2\left(1 + \tfrac{5x}{8}\right) = 2 + \tfrac{5x}{4}, \qquad \sqrt[4]{16 - x} = 2\left(1 - \tfrac{x}{16}\right)^{1/4} \approx 2\left(1 - \tfrac{x}{64}\right) = 2 - \tfrac{x}{32}.$

В числителе $\sqrt[7]{1 + 3x} \approx 1 + \frac{3x}{7}$, $\sqrt[3]{1 - \frac{x}{7}} \approx 1 - \frac{x}{21}$. Тогда

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3x}{7} + \frac{x}{21}}{\frac{5x}{4} + \frac{x}{32}} = \frac{\frac{9}{21} + \frac{1}{21}}{\frac{40}{32} + \frac{1}{32}} = \frac{10}{21} \cdot \frac{32}{41} = \frac{320}{861}.$

Пример 9. $\ln^2(1 + 2x)$ — это $\bigl(\ln(1 + 2x)\bigr)^2 \sim (2x)^2 = 4x^2$:

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 7x - 1}{\ln^2(1 + 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{(7x)^2}{2}}{4x^2} = -\frac{49}{8}.$

7. Замена переменной

Если $x \to x_0 \ne 0$, выражение приводят к бесконечно малой $y = x - x_0$ (или $y = x_0 - x$) формулами приведения, а потом пользуются таблицей.

Пример 10.

$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin 3x}{\sin 2x} = \left[\frac00\right].$

Аргументы стремятся к $3\pi$ и $2\pi$, а не к нулю. Замена $y = x - \pi$, $y \to 0$:

$\sin 3x = \sin(3y + 3\pi) = -\sin 3y, \qquad \sin 2x = \sin(2y + 2\pi) = \sin 2y,$

$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin 3x}{\sin 2x} = \lim_{y \to 0} \frac{-\sin 3y}{\sin 2y} = \lim_{y \to 0} \frac{-3y}{2y} = -\frac32.$

Если сразу заменить $\sin 3x \approx 3x$ и $\sin 2x \approx 2x$, получится $\frac32$ — неверный знак.

Пример 11.

$\lim_{x \to \pi/2} \frac{1 - \sin x}{\left(\frac{\pi}{2} - x\right)^2}.$

Замена $y = \frac{\pi}{2} - x$, $y \to 0$, $\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - y\right) = \cos y$:

$\lim_{y \to 0} \frac{1 - \cos y}{y^2} = \lim_{y \to 0} \frac{y^2/2}{y^2} = \frac12.$

Пример 12.

$\lim_{x \to \pi/4} \frac{\sqrt2 - 2\cos x}{\pi - 4x}.$

Замена $y = x - \frac{\pi}{4}$, $y \to 0$. Знаменатель: $\pi - 4x = \pi - 4y - \pi = -4y$. Числитель по формуле косинуса суммы:

$2\cos\left(y + \tfrac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \tfrac{\sqrt2}{2}(\cos y - \sin y) = \sqrt2 \cos y - \sqrt2 \sin y,$

$\sqrt2 - 2\cos x = \sqrt2\,(1 - \cos y) + \sqrt2 \sin y.$

Первое слагаемое $\sim \frac{\sqrt2}{2} y^2$ — бесконечно малая более высокого порядка, чем $y$, второе $\sim \sqrt2\, y$:

$\lim_{y \to 0} \frac{\sqrt2\,(1 - \cos y) + \sqrt2 \sin y}{-4y} = \lim_{y \to 0} \left(\frac{\sqrt2\,(1 - \cos y)}{-4y} + \frac{\sqrt2 \sin y}{-4y}\right) = 0 - \frac{\sqrt2}{4} = -\frac{\sqrt2}{4}.$

8. Эквивалентность на бесконечности и главная часть

8.1. Эквивалентные бесконечно большие

Определение 1 работает и для бесконечно больших: $f \sim g$, если $\lim \frac{f}{g} = 1$.

Пример 13. $\sqrt[3]{x^3 + 3} \sim x$ при $x \to \infty$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x^3 + 3}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^3}}}{x} = 1.$

Это тот же вынос старшей степени из практики 3, записанный как эквивалентность.

8.2. Главная часть вида C x в степени k

Задача: для бесконечно малой $f(x)$ при $x \to 0$ найти такие $C \ne 0$ и $k$, что $f(x) \sim Cx^k$. Тогда $Cx^k$ называют главной частью $f$, а $k$ — её порядком. По определению 1 нужно $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{Cx^k} = 1$.

Пример 14. $f(x) = 7x^6 - x^3 \ln(1 + 4x^3)$.

Так как $4x^3 \to 0$, $\ln(1 + 4x^3) \sim 4x^3$:

$\lim_{x \to 0} \frac{7x^6 - x^3 \ln(1 + 4x^3)}{Cx^k} = \lim_{x \to 0} \frac{7x^6 - x^3 \cdot 4x^3}{Cx^k} = \lim_{x \to 0} \frac{3x^6}{Cx^k}.$

Предел равен $1$ при $k = 6$, $C = 3$: $f(x) \sim 3x^6$.

Замена в разности здесь законна, потому что $7x^6$ и $4x^6$ не сокращаются до нуля (см. предупреждение в разделе 6). Точнее, $\ln(1 + 4x^3) = 4x^3 - 8x^6 + \ldots$, так что $f(x) = 3x^6 + 8x^9 + \ldots$, и старший член действительно $3x^6$.

Частые ошибки

1. Выносят старшую степень при $x \to x_0$, а не при $x \to \infty$. Этот приём только для $\left[\frac\infty\infty\right]$.
2. Заменяют $\sin u \sim u$, когда $u \not\to 0$. При $x \to \pi$ $\sin 3x$ не эквивалентен $3x$; сначала замена $y = x - x_0$ (примеры 3 и 10).
3. Путают знак при формулах приведения: $\sin(3y + \pi) = -\sin 3y$, $\sin(2y + 2\pi) = \sin 2y$.
4. Пишут $e^x \sim 1 + x$ как эквивалентность бесконечно малых. Эквивалентны $e^x - 1$ и $x$; «$1 + x$» — рабочая запись для подстановки.
5. Заменяют слагаемые в разности, где главные члены сокращаются. $\operatorname{tg} x - \sin x$ не эквивалентно $0$; нужно произведение $\operatorname{tg} x\,(1 - \cos x)$.
6. Теряют квадрат: $\ln^2(1 + 2x) \sim 4x^2$, а $1 - \cos 7x \sim \frac{49x^2}{2}$, не $\frac{7x^2}{2}$.
7. Применяют $(1 + u)^m \approx 1 + mu$ без единицы под корнем. Сначала $\sqrt{4 + 5x} = 2\sqrt{1 + \frac{5x}{4}}$.
8. Ошибаются в арифметике дробей в конце. $\frac54 + \frac1{32} = \frac{41}{32}$ — такие шаги стоит пересчитывать.

Мини-тренажёр

1. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x}{\operatorname{tg} 2x}$.
2. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + 3x)}{e^{2x} - 1}$.
3. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos 4x}{x \sin x}$.
4. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1 + 4x} - 1}{\operatorname{arctg} x}$.
5. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2^x - 1}{x}$.
6. $\lim\limits_{x \to \pi} \dfrac{\sin x}{x - \pi}$.
7. $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{x - 1}$.
8. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - e^{-x}}{\sin 2x}$.
9. Найдите главную часть $Cx^k$ функции $f(x) = \sin^2 3x$ при $x \to 0$.
10. Найдите главную часть $Cx^k$ функции $f(x) = \operatorname{tg} x - \sin x$ при $x \to 0$.

Ответы

1. $\frac{5x}{2x} = \frac52$.
2. $\frac{3x}{2x} = \frac32$.
3. $1 - \cos 4x \sim \frac{16x^2}{2} = 8x^2$, $x \sin x \sim x^2$; ответ $8$.
4. $\sqrt{1 + 4x} - 1 \sim 2x$, $\operatorname{arctg} x \sim x$; ответ $2$.
5. $2^x - 1 \sim x \ln 2$; ответ $\ln 2$.
6. $y = x - \pi$: $\sin(y + \pi) = -\sin y$; $\frac{-y}{y} = -1$.
7. $y = x - 1$: $\ln(1 + y) \sim y$; ответ $1$.
8. $e^{3x} - e^{-x} \approx 3x - (-x) = 4x$, $\sin 2x \sim 2x$; ответ $2$.
9. $\sin 3x \sim 3x$, поэтому $\sin^2 3x \sim 9x^2$: $C = 9$, $k = 2$.
10. $\operatorname{tg} x - \sin x = \operatorname{tg} x\,(1 - \cos x) \sim x \cdot \frac{x^2}{2}$: $C = \frac12$, $k = 3$.

Шпаргалка