Конспекты лекций

Кванторы и отрицание высказываний, операции над множествами и семействами, законы де Моргана, декартово произведение, отображения, образ и полный прообраз, четыре свойства образа и прообраза с доказательствами и контрпримерами.

Инъекция, сюръекция, биекция, обратное отображение; аксиомы Пеано, индукция, вполне упорядоченность ℕ; неравенство Бернулли, бином Ньютона, треугольник Паскаля; счётные и несчётные множества.

Определение предела функции на языке ε–δ и доказательство по определению, арифметика пределов, бесконечно малые и бесконечно большие, неопределённости 0/0, ∞/∞ и ∞−∞, вынос старшей степени, разложение на множители, домножение на сопряжённое.

Счётность ℚ, теорема Кантора о булеане; аксиомы поля, порядка и непрерывности; иррациональность √2 и неполнота ℚ; принцип Архимеда и соизмеримость; плотность ℚ и ℝ∖ℚ в ℝ.

Первый замечательный предел и его геометрическое доказательство, эквивалентные бесконечно малые, таблица эквивалентностей, замена переменной, когда аргумент не стремится к нулю, главная часть вида Cx^k.

Принцип вложенных отрезков Кантора, несчётность отрезка без десятичных записей, модели вещественных чисел, ограниченные множества, супремум и инфимум, теорема о существовании точной грани, определение предела последовательности.

Предел по определению, единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности, сохранение знака, бесконечно малые и их свойства, арифметика пределов, теорема о двух милиционерах, теорема Вейерштрасса о монотонной последовательности.

Второй замечательный предел и число e, подпоследовательности, теорема Больцано — Вейерштрасса, частичные пределы, фундаментальные последовательности и критерий Коши.