Лекция 8. Топология вещественной прямой, открытые, замкнутые и компактные множества

Вторая пара 9 октября, после лекции 7. До сих пор мы изучали последовательности; теперь — устройство самих множеств на прямой. Всё строится на одном понятии — окрестности точки. Через неё определяются внутренние, изолированные и предельные точки, через них — открытые и замкнутые множества, а в конце появляется компактность. Эти понятия понадобятся для пределов и непрерывности функций: предел функции определяется именно в предельной точке области определения.

1. Метрика и окрестности

1.1. Метрика

Определение 1. Метрика на $\mathbb R$ — это функция $d(x,y)=|x-y|$, расстояние между точками $x$ и $y$.

Дополнение. Основные свойства метрики: $d(x,y)\ge0$, причём $d(x,y)=0\iff x=y$; $d(x,y)=d(y,x)$; неравенство треугольника $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$. Именно этими свойствами метрику определяют в общем случае, а на прямой они следуют из свойств модуля.

1.2. Окрестность и проколотая окрестность

Определение 2. Пусть $x_0\in\mathbb R$, $\varepsilon>0$. $\varepsilon$-окрестностью точки $x_0$ называется множество $U_\varepsilon(x_0)=(x_0-\varepsilon;\,x_0+\varepsilon)=\{x\in\mathbb R\mid|x-x_0|<\varepsilon\}.$ Число $\varepsilon$ — радиус окрестности.

Определение 3. Проколотой $\varepsilon$-окрестностью точки $x_0$ называется $\overset{\circ}{U}_\varepsilon(x_0)=U_\varepsilon(x_0)\setminus\{x_0\}=\{x\in\mathbb R\mid0<|x-x_0|<\varepsilon\}.$

Проколотая окрестность — та же окрестность, но без самой точки. Она нужна, когда важно, что происходит рядом с точкой, а не в ней самой.

2. Классификация точек относительно множества

Дальше $E\subset\mathbb R$ — произвольное множество.

2.1. Внутренние и изолированные точки

Определение 4. Точка $x_0\in\mathbb R$ называется внутренней точкой множества $E$, если она содержится в $E$ вместе с некоторой своей окрестностью: $\exists\varepsilon>0:\ U_\varepsilon(x_0)\subset E.$

Определение 5. Точка $x_0\in E$ называется изолированной точкой множества $E$, если у неё существует проколотая окрестность, не пересекающаяся с $E$: $\exists\varepsilon>0:\ \overset{\circ}{U}_\varepsilon(x_0)\cap E=\varnothing.$

Внутренняя точка обязательно лежит в $E$ (она лежит в своей окрестности, а та — в $E$). Изолированная лежит в $E$ по определению, но рядом с ней других точек $E$ нет.

2.2. Предельные точки

Определение 6. Предельной точкой (точкой сгущения) множества $E$ называется точка $x_0\in\mathbb R$ такая, что любая её проколотая окрестность содержит точки $E$: $\forall\varepsilon>0\quad\overset{\circ}{U}_\varepsilon(x_0)\cap E\ne\varnothing.$

Предельная точка может принадлежать $E$, а может и не принадлежать. Схема ниже показывает все случаи на одном множестве.

Дополнение. Каждая точка $x_0\in E$ либо изолированная, либо предельная — это прямо отрицания друг друга: «существует проколотая окрестность без точек $E$» против «в любой проколотой окрестности есть точки $E$». Внутренняя точка всегда предельная.

2.3. Критерий предельной точки

Теорема 1 (критерий предельной точки). Точка $x_0$ — предельная точка множества $E$ тогда и только тогда, когда в $E$ содержится последовательность, сходящаяся к $x_0$ и состоящая из точек, отличных от $x_0$: $\exists\{x_n\}\subset E:\quad\lim_{n\to\infty}x_n=x_0,\quad x_n\ne x_0.$

Доказательство.

$\Rightarrow$ Возьмём $\varepsilon=\dfrac1n$. Так как $x_0$ предельная, $\overset{\circ}{U}_{1/n}(x_0)\cap E\ne\varnothing$; возьмём точку $x_n$ из этого пересечения. Тогда $x_n\in E$, $x_n\ne x_0$ и $0<|x_n-x_0|<\dfrac1n$. Значит $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0$.

$\Leftarrow$ Пусть $x_n\to x_0$, $x_n\in E$, $x_n\ne x_0$. Для любого $\varepsilon>0$ найдётся $N$, что $|x_n-x_0|<\varepsilon$ при $n>N$; а так как $x_n\ne x_0$, то $0<|x_n-x_0|<\varepsilon$, то есть $x_n\in\overset{\circ}{U}_\varepsilon(x_0)\cap E$. $\blacksquare$

Следствие. В любой проколотой окрестности предельной точки бесконечно много точек $E$.

Дополнение: доказательство следствия

Пусть в $\overset{\circ}{U}_\varepsilon(x_0)$ лишь конечное число точек $E$: $y_1,\dots,y_k$. Положим $\delta=\min\limits_i|y_i-x_0|>0$. Тогда $\overset{\circ}{U}_\delta(x_0)$ не содержит точек $E$ — противоречие с тем, что $x_0$ предельная.

На лекции это сказано во второй части доказательства: «в любой окрестности содержится бесконечно много точек $x_n\in E$». Если члены последовательности повторяются, это требует пояснения, поэтому надёжнее рассуждение выше.

3. Открытые и замкнутые множества

Определение 7. Множество $E\subset\mathbb R$ называется открытым, если все его точки внутренние.

Определение 8. Множество $E\subset\mathbb R$ называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Упражнение с лекции: доказать, что $E$ замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение $\mathbb R\setminus E$ открыто.

Дополнение: доказательство связи замкнутых и открытых множеств

$\Rightarrow$ Пусть $E$ замкнуто и $x\in\mathbb R\setminus E$. Точка $x$ не лежит в $E$, а все предельные точки $E$ лежат в $E$, значит $x$ не предельная: есть $\varepsilon>0$ с $\overset{\circ}{U}_\varepsilon(x)\cap E=\varnothing$. Сама $x\notin E$, поэтому и $U_\varepsilon(x)\cap E=\varnothing$, то есть $U_\varepsilon(x)\subset\mathbb R\setminus E$. Каждая точка дополнения внутренняя — дополнение открыто.

$\Leftarrow$ Пусть $\mathbb R\setminus E$ открыто, а $x$ — предельная точка $E$. Если бы $x\notin E$, то некоторая окрестность $U_\varepsilon(x)$ лежала бы в дополнении и не содержала точек $E$ — тогда $x$ не предельная. Противоречие, значит $x\in E$, и $E$ замкнуто.

Примеры.

1. $(0;1)$ — открытое множество: для $x\in(0;1)$ подходит $\varepsilon=\min(x,1-x)$.
2. $[0;1]$ — замкнутое, но не открытое: точка $0$ не внутренняя.
3. $\mathbb Q$ — ни открыто, ни замкнуто. Не открыто: в любой окрестности рационального числа есть иррациональные. Не замкнуто: $\sqrt2$ — предельная точка $\mathbb Q$, но не рациональна.
4. Множество всех предельных точек $\mathbb Q$ — вся прямая $\mathbb R$: в любой проколотой окрестности любого числа есть рациональные числа.

Замечание. $\mathbb R$ и $\varnothing$ одновременно и открыты, и замкнуты. Для $\mathbb R$ любая окрестность лежит в $\mathbb R$, и все предельные точки лежат в $\mathbb R$; для $\varnothing$ оба условия выполнены, потому что проверять нечего.

4. Теорема Больцано — Вейерштрасса для множеств

Теорема 2 (Больцано — Вейерштрасса для множеств). Любое бесконечное ограниченное множество $E\subset\mathbb R$ имеет хотя бы одну предельную точку.

Доказательство. Множество $E$ бесконечно, поэтому из него можно извлечь счётное подмножество и занумеровать его элементы: получим последовательность $\{x_n\}\subset E$ из попарно различных точек. Она ограничена (как и $E$), поэтому по теореме Больцано — Вейерштрасса для последовательностей (лекция 6, §2) у неё есть сходящаяся подпоследовательность: $\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x_0.$ Члены $x_{n_k}$ попарно различны, поэтому не больше одного из них равно $x_0$; выбросив его, получим последовательность точек $E$, отличных от $x_0$ и сходящихся к $x_0$. По критерию предельной точки $x_0$ — предельная точка $E$. $\blacksquare$

Примеры.

1. Множество с ровно одной предельной точкой: $\left\{\dfrac1n\right\}_{n=1}^\infty$, предельная точка $0$ (и она не принадлежит множеству).
2. Ровно две предельные точки: $\left\{(-1)^k\left(1+\dfrac1k\right)\right\}_{k=1}^\infty$, предельные точки $1$ и $-1$.
3. Множество со счётным числом предельных точек — упражнение с лекции (решение — в мини-тренажёре).

5. Алгебра открытых и замкнутых множеств

Теорема 3 (свойства открытых множеств).

1. Любое (даже бесконечное) объединение открытых множеств открыто: если $U_\alpha$ открыто для всех $\alpha$, то $\bigcup\limits_\alpha U_\alpha$ открыто.
2. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

Для бесконечного пересечения это неверно. Контрпример: $U_n=\left(-\frac1n;\,\frac1n\right),\qquad\bigcap_{n=1}^\infty U_n=\{0\}$ — точка не является открытым множеством.

Теорема 4 (свойства замкнутых множеств).

1. Любое пересечение замкнутых множеств замкнуто: если $F_\alpha$ замкнуто для всех $\alpha$, то $\bigcap\limits_\alpha F_\alpha$ замкнуто.
2. Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

Для бесконечного объединения это неверно. Контрпример: $F_n=\left[0;\,1-\frac1n\right],\qquad\bigcup_{n=1}^\infty F_n=[0;1)$ — не замкнуто: предельная точка $1$ не входит.

Дополнение: доказательства теорем 3 и 4

Теорема 3, п. 1. Если $x\in\bigcup U_\alpha$, то $x\in U_{\alpha_0}$ для некоторого $\alpha_0$; $U_{\alpha_0}$ открыто, значит есть $U_\varepsilon(x)\subset U_{\alpha_0}\subset\bigcup U_\alpha$.

Теорема 3, п. 2. Пусть $x\in U_1\cap\dots\cap U_k$. Для каждого $i$ есть $\varepsilon_i>0$ с $U_{\varepsilon_i}(x)\subset U_i$. Положим $\varepsilon=\min(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k)>0$ — тогда $U_\varepsilon(x)$ лежит во всех $U_i$. Для бесконечного числа множеств минимум заменяется точной нижней гранью, которая может оказаться нулём, — ровно это и происходит в контрпримере.

Теорема 4 следует из теоремы 3 по законам де Моргана: $\mathbb R\setminus\bigcap F_\alpha=\bigcup(\mathbb R\setminus F_\alpha)$ — объединение открытых, открыто; $\mathbb R\setminus(F_1\cup\dots\cup F_k)=\bigcap_{i=1}^k(\mathbb R\setminus F_i)$ — конечное пересечение открытых, открыто. Остаётся применить связь замкнутых и открытых множеств из §3.

6. Компактные множества

6.1. Открытое покрытие

Определение 9. Семейство множеств $\{G_\alpha\}_{\alpha\in A}$ называется открытым покрытием множества $E$, если:

1. $G_\alpha$ открыто для каждого $\alpha\in A$;
2. $E\subset\bigcup\limits_{\alpha\in A}G_\alpha$.

Индексное множество $A$ может быть любым — конечным, счётным, несчётным.

6.2. Компактность

Определение 10. Множество $E$ называется компактным, если из любого его открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие: найдутся $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ такие, что $E\subset G_{\alpha_1}\cup\dots\cup G_{\alpha_k}$.

Важно слово «любого»: чтобы доказать некомпактность, достаточно предъявить одно покрытие без конечного подпокрытия.

Примеры некомпактных множеств.

1. $E=(0;1)$, $G_n=\left(\dfrac1n;\,1\right)$. Тогда $\bigcup\limits_{n=1}^\infty G_n=(0;1)$, и это открытое покрытие. Конечного подпокрытия нет: интервалы вложены, $G_1\subset G_2\subset\dots$, поэтому объединение конечного набора равно наибольшему из них, $G_N=\left(\frac1N;1\right)$, а точки из $\left(0;\frac1N\right]$ остаются непокрытыми.

2. $E=[0;+\infty)$, $G_n=(-1;\,n)$. Объединение — $(-1;+\infty)\supset E$. Любой конечный набор покрывает лишь $(-1;N)$, и точка $N$ из $E$ остаётся непокрытой. Конечного подпокрытия нет.

В первом примере мешает незамкнутость (точка $0$ — предельная, но не в $E$), во втором — неограниченность. Это не совпадение.

6.3. Теорема Гейне — Бореля

Теорема 5 (Гейне — Борель). Множество $E\subset\mathbb R$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

На лекции теорема сформулирована без доказательства. По ней, например, любой отрезок $[a;b]$ компактен, а $(0;1)$ и $[0;+\infty)$ — нет, что согласуется с примерами выше.

Частые ошибки

1. Считать, что предельная точка обязана лежать в множестве. $0$ — предельная точка $\left\{\frac1n\right\}$, но не его элемент.
2. Путать предельную точку множества и частичный предел последовательности. Последовательность $(-1)^k$ имеет частичные пределы $\pm1$, а множество её значений $\{-1;1\}$ предельных точек не имеет.
3. Брать в определении предельной точки обычную окрестность вместо проколотой. Тогда каждая точка $E$ была бы «предельной», включая изолированные.
4. Думать, что «не открыто» значит «замкнуто». $[0;1)$ и $\mathbb Q$ ни открыты, ни замкнуты; $\mathbb R$ и $\varnothing$ — и то, и другое.
5. Переносить свойства на бесконечные операции. Бесконечное пересечение открытых может быть не открыто ($\{0\}$), бесконечное объединение замкнутых — не замкнуто ($[0;1)$).
6. Доказывать компактность одним удачным покрытием. Конечное подпокрытие должно найтись для любого открытого покрытия; для некомпактности хватает одного плохого.

Мини-тренажёр

1. Для $E=(0;1]\cup\{3\}$ найдите внутренние, изолированные и предельные точки. Открыто ли $E$? Замкнуто ли?
2. Найдите предельные точки множества $\mathbb Z$. Замкнуто ли $\mathbb Z$? Открыто ли?
3. Приведите множество, у которого множество предельных точек счётно (упражнение с лекции).
4. Объединение каких интервалов $\left(\frac1n;\,2\right)$, $n\in\mathbb N$, получится? Открыто ли оно, замкнуто ли?
5. Компактны ли множества: а) $[0;1]\cup[2;3]$; б) $\mathbb N$; в) $\left\{\frac1n\right\}_{n=1}^\infty$; г) $\left\{\frac1n\right\}_{n=1}^\infty\cup\{0\}$?
6. Упражнение с лекции: пусть $x_n=\dfrac{p_n}{q_n}\in\mathbb Q_+$ и $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\alpha$. Докажите, что $q_n\to\infty$. Какое условие на $\alpha$ для этого нужно?

Ответы

1. Внутренние: $(0;1)$. Изолированная: $3$. Предельные: $[0;1]$. Не открыто ($1$ и $3$ не внутренние). Не замкнуто: предельная точка $0\notin E$.
2. Предельных точек нет: вокруг целого числа $m$ проколотая окрестность радиуса $\frac12$ не содержит целых, вокруг нецелого $x$ — окрестность радиуса, меньшего расстояния до ближайшего целого. Значит $\mathbb Z$ замкнуто (содержит все свои предельные точки — их нет). Не открыто: окрестность целого числа содержит нецелые.
3. Например, $E=\left\{\frac1m+\frac1n\ \middle|\ m,n\in\mathbb N\right\}$. При фиксированном $m$ и $n\to\infty$ получаем предельную точку $\frac1m$, при $m,n\to\infty$ — точку $0$. Других нет: в последовательности различных точек $E$ либо одно из чисел $m,n$ на подпоследовательности ограничено (тогда оно повторяется бесконечно часто, а другое растёт — предел $\frac1m$), либо оба растут (предел $0$). Множество предельных точек $\left\{\frac1m\right\}\cup\{0\}$ счётно.
4. $\bigcup\left(\frac1n;2\right)=(0;2)$ — открыто (объединение открытых), не замкнуто ($0$ и $2$ предельные и не входят).
5. а) Да: конечное объединение замкнутых замкнуто, и оно ограничено — по Гейне — Борелю компактно. б) Нет: не ограничено. в) Нет: предельная точка $0$ не входит, множество не замкнуто. г) Да: замкнуто (единственная предельная точка $0$ добавлена) и ограничено.
6. Нужно, чтобы $\alpha$ было иррациональным — в тетради это условие не записано, а без него утверждение неверно: $x_n=\frac12$ сходится к $\frac12$ при $q_n=2$. Доказательство при $\alpha\notin\mathbb Q$: пусть $q_n\not\to\infty$. Тогда найдётся $Q$ и бесконечно много номеров с $q_n\le Q$; среди значений $1,\dots,Q$ какое-то, $q$, повторяется бесконечно часто. Соответствующая подпоследовательность $x_{n_k}=\frac{p_{n_k}}q$ сходится к $\alpha$, поэтому, начиная с некоторого $k$, $|x_{n_k}-x_{n_{k+1}}|<\frac1q$. Но разность двух дробей со знаменателем $q$ либо равна $0$, либо не меньше $\frac1q$, значит $x_{n_k}$ с некоторого места постоянна и $\alpha=\frac pq\in\mathbb Q$ — противоречие.

Шпаргалка