Лекция 3. Комплексные числа

В лекции 1 $\mathbb{C}$ появлялось как пример поля без объяснений. Эта лекция строит его честно: из пар вещественных чисел с двумя операциями, а затем выводит из определения всё, чем пользовались на практике 2: деление через сопряжённое, тригонометрическую форму, формулу Муавра и корни. На практике эти приёмы применялись к задачам, здесь — откуда они берутся и почему верны.

В начале пары разобрали домашнее задание из лекции 1: равенство $a \cdot 0 = 0$ в кольце выводится из $0 + 0 = 0$ и дистрибутивности, доказательство — в конспекте лекции 1.

1. Построение комплексных чисел

1.1. Пары вещественных чисел

Определение 1. Множество комплексных чисел $\mathbb{C}$ — множество упорядоченных пар $(a, b)$ вещественных чисел с операциями

$(a, b) + (c, d) = (a + c,\ b + d), \qquad (a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd,\ ad + bc).$

Пары равны, когда равны их компоненты: $(a, b) = (c, d) \iff a = c \wedge b = d$.

Сложение покомпонентное, а умножение выглядит странно. Смысл этого правила станет виден в разделе 1.3: оно подобрано так, чтобы пара $(0, 1)$ в квадрате давала $-1$.

1.2. Нейтральные элементы и поле

• Ноль — пара $(0, 0)$: $(a, b) + (0, 0) = (a, b)$.
• Противоположный к $(a, b)$ — пара $(-a, -b)$.
• Единица — пара $(1, 0)$: $(a, b) \cdot (1, 0) = (a \cdot 1 - b \cdot 0,\ a \cdot 0 + b \cdot 1) = (a, b)$.

Теорема 1. $(\mathbb{C}, +, \cdot)$ — поле.

Ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность проверяются прямой подстановкой в формулы определения 1; на лекции их не расписывали. Например, коммутативность умножения: $(c, d) \cdot (a, b) = (ca - db,\ cb + da)$ — это то же, что $(a, b) \cdot (c, d)$. Единственная аксиома из списка аксиом поля, которая требует идеи, — существование обратного по умножению, раздел 2.2.

1.3. Мнимая единица и алгебраическая форма

Пары со второй компонентой $0$ складываются и умножаются как вещественные числа:

$(a, 0) + (c, 0) = (a + c,\ 0), \qquad (a, 0) \cdot (c, 0) = (ac,\ 0).$

Поэтому пару $(a, 0)$ отождествляют с числом $a$: соответствие $a \leftrightarrow (a, 0)$ взаимно однозначно и сохраняет операции, так что $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$. В частности, $(1, 0)$ — это $1$, а $(-1, 0)$ — это $-1$.

Определение 2. Мнимая единица — пара $i = (0, 1)$.

По правилу умножения

$i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1,\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = (-1, 0) = -1.$

Любая пара раскладывается через $i$: $(b, 0) \cdot (0, 1) = (0, b)$, поэтому

$(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + bi.$

Это алгебраическая форма $z = a + bi$, где $a = \operatorname{Re} z$ — действительная часть, $b = \operatorname{Im} z$ — мнимая. Теперь правило умножения пар — просто раскрытие скобок с заменой $i^2 = -1$:

$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd\,i^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.$

Мнимая единица при таком построении — не «число, которого нет», а конкретная пара $(0, 1)$, и всё, что про неё известно, выводится из определения 1.

2. Сопряжение и деление

2.1. Сопряжённое число

Определение 3. Сопряжённое к $z = a + bi$ — число $\bar z = a - bi$.

Главное свойство:

$z \bar z = (a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi - b^2 i^2 = a^2 + b^2.$

Произведение числа на сопряжённое вещественно, неотрицательно и равно нулю только при $z = 0$.

2.2. Обратный элемент

Теорема 2. Для любого $z = a + bi \ne 0$ существует обратный

$z^{-1} = \frac{\bar z}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}\, i.$

Доказательство. Так как $z \ne 0$, хотя бы одно из $a, b$ не ноль и $a^2 + b^2 > 0$. Тогда $z \cdot \dfrac{\bar z}{a^2 + b^2} = \dfrac{z \bar z}{a^2 + b^2} = \dfrac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1$. $\blacksquare$

Теорема 2 закрывает последнюю аксиому поля, и теорема 1 доказана.

2.3. Свойства сопряжения

Утверждение 1. Для любых $z, z_1, z_2 \in \mathbb{C}$:

1. $\overline{z_1 + z_2} = \bar z_1 + \bar z_2$;
2. $\overline{z_1 z_2} = \bar z_1\, \bar z_2$;
3. $\overline{z_1 / z_2} = \bar z_1 / \bar z_2$ при $z_2 \ne 0$;
4. $\bar{\bar z} = z$;
5. $z + \bar z = 2 \operatorname{Re} z$ и $z - \bar z = 2i \operatorname{Im} z$;
6. $z = \bar z \iff z \in \mathbb{R}$;
7. $\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)} = \dfrac{1}{\bar z}$ при $z \ne 0$.

Доказательство. Пусть $z_1 = a_1 + b_1 i$, $z_2 = a_2 + b_2 i$.

1. $\overline{z_1 + z_2} = \overline{(a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i} = (a_1 + a_2) - (b_1 + b_2)i = (a_1 - b_1 i) + (a_2 - b_2 i) = \bar z_1 + \bar z_2$.
2. $z_1 z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i$, поэтому $\overline{z_1 z_2} = (a_1 a_2 - b_1 b_2) - (a_1 b_2 + a_2 b_1)i$. С другой стороны, $\bar z_1 \bar z_2 = (a_1 - b_1 i)(a_2 - b_2 i) = (a_1 a_2 - b_1 b_2) - (a_1 b_2 + a_2 b_1)i$. Совпадает.
3. Из $z_2 \cdot \dfrac{z_1}{z_2} = z_1$ по пункту 2 получаем $\bar z_2 \cdot \overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)} = \bar z_1$. Делим на $\bar z_2 \ne 0$.
4. Знак мнимой части меняется дважды.
5. $(a + bi) + (a - bi) = 2a$, $(a + bi) - (a - bi) = 2bi$.
6. $a + bi = a - bi \iff 2bi = 0 \iff b = 0$.
7. Частный случай пункта 3 при $z_1 = 1$: $\bar 1 = 1$. $\blacksquare$

Пункты 1–3 разрешают сопрягать выражение по частям, а пункт 5 даёт формулы для частей через само число:

$\operatorname{Re} z = \frac{z + \bar z}{2}, \qquad \operatorname{Im} z = \frac{z - \bar z}{2i}.$

2.4. Деление на практике

Формулу теоремы 2 в общем виде не запоминают: достаточно домножить числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю. В знаменателе окажется вещественное $|z|^2$.

Пример 1.

$\frac{2 + 3i}{1 - 2i} = \frac{(2 + 3i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{2 + 4i + 3i + 6i^2}{1^2 + 2^2} = \frac{-4 + 7i}{5} = -\frac{4}{5} + \frac{7}{5}\, i.$

Проверка умножением: $\dfrac{-4 + 7i}{5} \cdot (1 - 2i) = \dfrac{-4 + 8i + 7i - 14i^2}{5} = \dfrac{10 + 15i}{5} = 2 + 3i$.

3. Комплексная плоскость и тригонометрическая форма

3.1. Геометрическая интерпретация

Как вещественные числа изображаются точками прямой, комплексные — точками плоскости: $z = a + bi$ соответствует точка $(a, b)$ или вектор из начала координат в неё. Горизонтальная ось — действительная, вертикальная — мнимая. Сопряжение $z \mapsto \bar z$ — отражение относительно действительной оси.

Точку плоскости можно задать и в полярных координатах: расстоянием до начала координат и углом поворота. Отсюда два следующих понятия.

3.2. Модуль и аргумент

Определение 4. Модуль числа $z = a + bi$ — расстояние от начала координат до точки $(a, b)$:

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$

По теореме Пифагора это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $|a|$ и $|b|$. Из раздела 2.1: $|z|^2 = z \bar z$.

Определение 5. Аргумент числа $z \ne 0$ — угол $\varphi$ между положительным направлением действительной оси и вектором $z$. Он определяется условиями

$\cos \varphi = \frac{a}{|z|}, \qquad \sin \varphi = \frac{b}{|z|}$

однозначно с точностью до слагаемого $2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение из $[0; 2\pi)$ называют главным значением аргумента и обозначают $\arg z$, а все значения сразу — $\operatorname{Arg} z = \arg z + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. У числа $0$ аргумент не определён.

3.3. Тригонометрическая форма

Из определения 5: $a = |z| \cos \varphi$, $b = |z| \sin \varphi$. Подставляя в $z = a + bi$, получаем тригонометрическую форму

$z = |z| (\cos \varphi + i \sin \varphi).$

Равенство в тригонометрической форме. Ненулевые числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на $2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Это понадобится при извлечении корней.

4. Умножение и формула Муавра

4.1. Умножение в тригонометрической форме

Теорема 3. Если $z_1 = |z_1|(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$ и $z_2 = |z_2|(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$, то

$z_1 z_2 = |z_1|\, |z_2| \big(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)\big).$

Доказательство. Перемножим скобки, отдельно собирая вещественную и мнимую части:

$(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) = (\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2) + i (\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cos \varphi_2).$

В скобках — формулы косинуса и синуса суммы, то есть $\cos(\varphi_1 + \varphi_2)$ и $\sin(\varphi_1 + \varphi_2)$. Модули просто перемножаются. $\blacksquare$

Геометрически: при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются. Например, умножение на $i$ — поворот на $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки.

Следствие (деление). При $z_2 \ne 0$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|} \big(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\big).$

Действительно, умножив правую часть на $z_2$ по теореме 3, получаем $z_1$.

4.2. Формула Муавра

Теорема 4 (формула Муавра). Для любого $n \in \mathbb{N}$

$z^n = |z|^n (\cos n\varphi + i \sin n\varphi).$

На лекции доказательство оставлено упражнением.

Доказательство индукцией по $n$. База $n = 1$ очевидна. Шаг: пусть $z^k = |z|^k (\cos k\varphi + i \sin k\varphi)$. Тогда по теореме 3

$z^{k + 1} = z^k \cdot z = |z|^k\, |z| \big(\cos(k\varphi + \varphi) + i \sin(k\varphi + \varphi)\big) = |z|^{k + 1} \big(\cos (k + 1)\varphi + i \sin (k + 1)\varphi\big). \ \blacksquare$

Схема индукции та же, что в лекции 2 по дискретной математике.

Зачем это нужно. Возвести $1 + i$ в десятую степень по биному Ньютона — значит выписать и упростить $11$ слагаемых. По формуле Муавра — одна строка:

$(1 + i)^{10} = \left(\sqrt{2}\right)^{10} \left(\cos \frac{10\pi}{4} + i \sin \frac{10\pi}{4}\right) = 32 \left(\cos \frac{5\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}{2}\right) = 32i.$

Проверка: $(1 + i)^2 = 2i$, $(2i)^5 = 32 i^5 = 32i$.

5. Свойства модуля

Утверждение 2. Для любых $z, z_1, z_2 \in \mathbb{C}$:

1. $|z|$ — вещественное число, $|z| \ge 0$, и $|z| = 0 \iff z = 0$;
2. $|\bar z| = |z|$;
3. $|z_1 z_2| = |z_1|\, |z_2|$;
4. $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$ при $z_2 \ne 0$;
5. $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$ — неравенство треугольника.

Доказательство пунктов 3 и 4. Через $|z|^2 = z \bar z$ и свойство сопряжения произведения:

$|z_1 z_2|^2 = (z_1 z_2)\,\overline{(z_1 z_2)} = z_1 z_2\, \bar z_1 \bar z_2 = (z_1 \bar z_1)(z_2 \bar z_2) = |z_1|^2 |z_2|^2.$

Модули неотрицательны, поэтому можно извлечь корень. Пункт 4 следует из 3: $|z_2| \cdot \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = |z_1|$. $\blacksquare$

Пункт 3 виден и из теоремы 3: модуль произведения — произведение модулей.

Неравенство треугольника на лекции оставлено упражнением. Геометрически оно говорит, что сторона треугольника со сторонами-векторами $z_1$, $z_2$, $z_1 + z_2$ не длиннее суммы двух других.

Доказательство неравенства треугольника

Раскроем квадрат модуля суммы через сопряжение:

$|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\bar z_1 + \bar z_2) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1 \bar z_2 + \bar z_1 z_2.$

Слагаемые $z_1 \bar z_2$ и $\bar z_1 z_2$ сопряжены друг другу, поэтому их сумма равна $2 \operatorname{Re}(z_1 \bar z_2)$. Вещественная часть не больше модуля: $\operatorname{Re} w \le |w|$, а $|z_1 \bar z_2| = |z_1|\, |z_2|$. Значит,

$|z_1 + z_2|^2 \le |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1|\, |z_2| = \big(|z_1| + |z_2|\big)^2.$

Обе части неотрицательны, извлекаем корень. $\blacksquare$

6. Корни n-й степени

Определение 6. Корень $n$-й степени из $z \in \mathbb{C}$ — любое число $w \in \mathbb{C}$, для которого $w^n = z$.

Возведение в степень однозначно, а корней может быть несколько.

Теорема 5. Пусть $z = |z|(\cos \varphi + i \sin \varphi) \ne 0$. Корней $n$-й степени из $z$ ровно $n$:

$w_k = \sqrt[n]{|z|} \left(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right), \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1.$

Здесь $\sqrt[n]{|z|}$ — обычный арифметический корень из положительного числа.

Доказательство. Ищем $w = \rho(\cos \psi + i \sin \psi)$. По формуле Муавра $w^n = \rho^n (\cos n\psi + i \sin n\psi)$. По условию равенства в тригонометрической форме $w^n = z$ равносильно

$\rho^n = |z|, \qquad n\psi = \varphi + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}.$

Отсюда $\rho = \sqrt[n]{|z|}$ и $\psi = \dfrac{\varphi + 2\pi k}{n}$. При $k$ и $k + n$ аргументы отличаются на $2\pi$ и дают одно и то же число, поэтому все корни получаются при $k = 0, \dots, n - 1$. Их аргументы лежат в промежутке длины меньше $2\pi$ и попарно различны, значит, и сами числа различны. $\blacksquare$

Геометрия. Все корни имеют один модуль $\sqrt[n]{|z|}$, то есть лежат на окружности этого радиуса, а их аргументы идут с шагом $\dfrac{2\pi}{n}$. Поэтому корни $n$-й степени — вершины правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.

Пример 2. Найдём все значения $\sqrt[3]{-8}$.

Тригонометрическая форма: $-8 = 8(\cos \pi + i \sin \pi)$. Модуль корней $\sqrt[3]{8} = 2$, аргументы $\dfrac{\pi + 2\pi k}{3}$:

Три точки на окружности радиуса $2$ — вершины правильного треугольника. Проверка для первого корня: $(1 + i\sqrt3)^2 = 1 + 2i\sqrt3 - 3 = -2 + 2i\sqrt3$, и $(-2 + 2i\sqrt3)(1 + i\sqrt3) = -2 - 2i\sqrt3 + 2i\sqrt3 - 6 = -8$.

7. Показательная форма

Выражение $\cos \varphi + i \sin \varphi$ записывают коротко как $e^{i\varphi}$ (формула Эйлера), и тогда $z = |z|\, e^{i\varphi}$ — показательная форма. В этой записи теорема 3 и формула Муавра выглядят как привычные правила для степеней:

$e^{i\varphi_1} e^{i\varphi_2} = e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}, \qquad \left(e^{i\varphi}\right)^n = e^{in\varphi}.$

Подробнее и с задачами — в разделе 5 практики 2.

Частые ошибки

1. Умножают пары покомпонентно: $(a, b)(c, d) = (ac, bd)$. Правильно $(ac - bd,\ ad + bc)$.
2. Считают $z \bar z = a^2 - b^2$, забыв, что $-b^2 i^2 = +b^2$. Правильно $a^2 + b^2$.
3. Находят аргумент только по $\operatorname{arctg} \frac{b}{a}$ и попадают не в ту четверть.
4. Пишут $|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|$. Для суммы верно только неравенство; равенство модулей есть для произведения и частного.
5. Записывают «тригонометрическую форму» с отрицательным множителем: $-2(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ — не тригонометрическая форма. Правильно $2\big(\cos(\varphi + \pi) + i \sin(\varphi + \pi)\big)$.
6. Пишут $\cos \varphi - i \sin \varphi$ как тригонометрическую форму. Нужен плюс: $\cos(-\varphi) + i \sin(-\varphi)$.
7. Находят один корень вместо $n$, забыв $2\pi k$ в аргументе.
8. Берут $k$ от $0$ до $n$ включительно и получают лишний корень, совпадающий с первым.

Мини-тренажёр

1. Вычислите $(1, 2) \cdot (3, -1)$ по правилу умножения пар и проверьте в алгебраической форме.
2. Покажите, что $(0, -1)^2 = (-1, 0)$. Сколько решений у уравнения $z^2 = -1$?
3. Найдите $(3 - 4i)^{-1}$.
4. Вычислите $\dfrac{1 + 2i}{3 - i}$.
5. Докажите, что $\operatorname{Im} z = \dfrac{z - \bar z}{2i}$.
6. Запишите $-1 + i\sqrt{3}$ в тригонометрической форме и найдите $(-1 + i\sqrt3)^6$.
7. Найдите $|(3 + 4i)(1 - i)|$, не перемножая скобки.
8. Найдите все значения $\sqrt[4]{-16}$ и опишите, как они расположены на плоскости.
9. Почему $z \bar z$ всегда вещественно и неотрицательно?
10. Докажите, что $\overline{z^n} = \bar z^{\,n}$ для любого $n \in \mathbb{N}$.

Ответы

1. $(1 \cdot 3 - 2 \cdot (-1),\ 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3) = (5, 5)$. В алгебраической форме $(1 + 2i)(3 - i) = 3 - i + 6i - 2i^2 = 5 + 5i$.
2. $(0 \cdot 0 - (-1)(-1),\ 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0) = (-1, 0)$. Решений два: $i$ и $-i$ — это корни второй степени из $-1$ по теореме 5.
3. $\dfrac{3 + 4i}{3^2 + 4^2} = \dfrac{3}{25} + \dfrac{4}{25}\, i$.
4. $\dfrac{(1 + 2i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \dfrac{3 + i + 6i + 2i^2}{10} = \dfrac{1 + 7i}{10}$.
5. $z - \bar z = (a + bi) - (a - bi) = 2bi$, делим на $2i$ и получаем $b$.
6. $|z| = 2$, $\cos \varphi = -\frac12$, $\sin \varphi = \frac{\sqrt3}{2}$, $\varphi = \frac{2\pi}{3}$. $z^6 = 2^6 (\cos 4\pi + i \sin 4\pi) = 64$.
7. $|3 + 4i| \cdot |1 - i| = 5\sqrt2$.
8. $-16 = 16(\cos \pi + i \sin \pi)$, модуль корней $2$, аргументы $\frac\pi4, \frac{3\pi}4, \frac{5\pi}4, \frac{7\pi}4$. Корни $\sqrt2 + i\sqrt2$, $-\sqrt2 + i\sqrt2$, $-\sqrt2 - i\sqrt2$, $\sqrt2 - i\sqrt2$ — вершины квадрата, вписанного в окружность радиуса $2$.
9. $z \bar z = a^2 + b^2$ — сумма квадратов вещественных чисел.
10. Индукция по $n$: при $n = 1$ верно; $\overline{z^{k + 1}} = \overline{z^k \cdot z} = \overline{z^k} \cdot \bar z = \bar z^{\,k} \bar z = \bar z^{\,k + 1}$ по свойству сопряжения произведения.

Шпаргалка