Подготовка к контрольной 30 сентября. Комплексные числа и многочлены

Контрольная 30 сентября состоит из десяти задач на всё, что мы прошли по комплексным числам и многочленам: алгебраическая и тригонометрическая форма, корни, разложение многочлена, множества на плоскости, функции комплексного переменного и квадратное уравнение. Ниже — вариант 3 целиком с решениями, а к каждому типу задач — короткая схема и тренировочные примеры. Теория лежит в лекциях 3 и 5, практиках 4 и 6.

Условия варианта 3.

1. Алгебраическая форма

Схема. Деление $\dfrac{a}{b}$ — домножить числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю: $\dfrac{a\bar b}{|b|^2}$. Степени $i$ сводить по циклу $i, -1, -i, 1$: показатель берём по модулю 4.

1.1. Задача 1

Первая дробь:

$\frac{5+i}{1-2i} = \frac{(5+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{5 + 10i + i + 2i^2}{1+4} = \frac{3+11i}{5}.$

Вторая дробь. Показатели: $31 = 4\cdot 7 + 3$, поэтому $i^{31} = i^3 = -i$; $i^6 = i^2 = -1$, и знаменатель равен $5 - 1 = 4$. Числитель:

$i^{31}(-1-i) = -i(-1-i) = i + i^2 = -1 + i.$

Итого

$\frac{3+11i}{5} - \frac{-1+i}{4} = \frac{4(3+11i) - 5(-1+i)}{20} = \frac{12 + 44i + 5 - 5i}{20} = \frac{17+39i}{20}.$

Ответ: $\dfrac{17}{20} + \dfrac{39}{20}\,i$.

1.2. Потренируйтесь

1. $\dfrac{3-i}{2+i} + i^{27}(1+2i)$.
2. $\dfrac{(1+2i)^2}{3-i} - \dfrac{i^{15}}{1+i}$.
3. $i + i^2 + i^3 + \dots + i^{2026}$.

Ответы

1. $\dfrac{3-i}{2+i} = \dfrac{(3-i)(2-i)}{5} = \dfrac{5-5i}{5} = 1-i$; $i^{27} = i^3 = -i$, $-i(1+2i) = 2 - i$. Сумма: $3 - 2i$.

2. $(1+2i)^2 = -3+4i$, $\dfrac{-3+4i}{3-i} = \dfrac{(-3+4i)(3+i)}{10} = \dfrac{-13+9i}{10}$; $i^{15} = i^3 = -i$, $\dfrac{-i}{1+i} = \dfrac{-i(1-i)}{2} = \dfrac{-1-i}{2}$. Разность: $\dfrac{-13+9i}{10} + \dfrac{1+i}{2} = \dfrac{-8+14i}{10} = -\dfrac45 + \dfrac75 i$.

3. Каждые четыре подряд идущие степени дают $i - 1 - i + 1 = 0$. Число слагаемых $2026 = 4\cdot 506 + 2$, остаются последние два: $i^{2025} + i^{2026} = i + i^2 = -1 + i$.

2. Тригонометрическая форма и формула Муавра

Схема. Каждый множитель записать как $r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. Модули перемножаются и делятся, аргументы складываются и вычитаются, при возведении в степень $n$ модуль идёт в степень $n$, а аргумент умножается на $n$ (формула Муавра). В конце привести аргумент к $[0, 2\pi)$ или $(-\pi, \pi]$.

2.1. Задача 2

Три числа из условия:

Числитель:

$(-1+i)^8 = (\sqrt2)^8\left(\cos 6\pi + i\sin 6\pi\right) = 16,$

$(1+\sqrt3 i)^7 = 2^7\left(\cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3}\right).$

Знаменатель:

$(1-\sqrt3 i)^{11} = 2^{11}\left(\cos\left(-\frac{11\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{11\pi}{3}\right)\right).$

Модуль дроби: $\dfrac{16\cdot 2^7}{2^{11}} = \dfrac{2^{11}}{2^{11}} = 1$. Аргумент: $\dfrac{7\pi}{3} + \dfrac{11\pi}{3} = 6\pi$, то есть $0$ по модулю $2\pi$.

Ответ: $1\cdot(\cos 0 + i\sin 0) = 1$.

2.2. Потренируйтесь

1. $\dfrac{(1+i)^{12}}{(\sqrt3 - i)^{6}}$.
2. $\dfrac{(1+i)^{10}(1-\sqrt3 i)^{6}}{(-1-i)^{8}}$.
3. $\dfrac{(1-i)^{9}(\sqrt3+i)^{5}}{(-1+\sqrt3 i)^{4}}$.

Ответы

1. $(1+i)^{12} = (\sqrt2)^{12}(\cos 3\pi + i\sin 3\pi) = -64$; $(\sqrt3 - i)^6 = 2^6(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi)) = -64$. Ответ: $1$.

2. Числитель: $(\sqrt2)^{10}\cdot 2^6 = 32\cdot 64 = 2048$, аргумент $\dfrac{10\pi}{4} + 6\cdot\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{5\pi}{2} - 2\pi = \dfrac{\pi}{2}$. Знаменатель: $(\sqrt2)^8 = 16$, аргумент $8\cdot\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = -6\pi \equiv 0$. Ответ: $128\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 128i$.

3. Модуль $\dfrac{(\sqrt2)^9\cdot 2^5}{2^4} = 2^{4.5}\cdot 2 = 32\sqrt2$. Аргумент $9\cdot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + 5\cdot\dfrac{\pi}{6} - 4\cdot\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{49\pi}{12} \equiv -\dfrac{\pi}{12}$. Ответ: $32\sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{12} - i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)$.

3. Корни n-й степени

Схема. Представить подкоренное число как $r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. Тогда

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right), \quad k = 0, 1, \dots, n-1.$

Корней ровно $n$, они лежат на окружности радиуса $\sqrt[n]{r}$ и делят её на $n$ равных дуг.

3.1. Задача 3

Для $z = 5 - 5\sqrt3 i$ модуль $|z| = \sqrt{25 + 75} = 10$. Точка $(5, -5\sqrt3)$ в четвёртой четверти, $\operatorname{tg}\varphi = -\sqrt3$, значит $\varphi = -\dfrac{\pi}{3}$. Подставляем в формулу при $n = 3$:

$w_k = \sqrt[3]{10}\left(\cos\frac{-\frac{\pi}{3} + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{-\frac{\pi}{3} + 2\pi k}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2.$

Аргументы: $-\dfrac{\pi}{9}$, $\dfrac{5\pi}{9}$, $\dfrac{11\pi}{9}$.

Ответ:

$w_0 = \sqrt[3]{10}\left(\cos\frac{\pi}{9} - i\sin\frac{\pi}{9}\right), \quad w_1 = \sqrt[3]{10}\left(\cos\frac{5\pi}{9} + i\sin\frac{5\pi}{9}\right), \quad w_2 = \sqrt[3]{10}\left(\cos\frac{11\pi}{9} + i\sin\frac{11\pi}{9}\right).$

Числовые значения (для самопроверки): $w_0 \approx 2{,}02 - 0{,}74i$, $w_1 \approx -0{,}37 + 2{,}12i$, $w_2 \approx -1{,}65 - 1{,}38i$. Куб любого из них равен $5 - 5\sqrt3 i \approx 5 - 8{,}66i$.

3.2. Потренируйтесь

1. $\sqrt{3+4i}$ (через систему на $x, y$).
2. $\sqrt[4]{-16}$ в алгебраической форме.
3. $\sqrt[3]{8i}$ в алгебраической форме.

Ответы

1. $x^2 - y^2 = 3$, $xy = 2$, $x^2 + y^2 = |3+4i| = 5$. Тогда $x^2 = 4$, $y^2 = 1$, знаки одинаковы. Ответ: $\pm(2+i)$.

2. $|-16| = 16$, $\varphi = \pi$, модуль корней $2$, аргументы $\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2}$. Ответ: $\sqrt2(\pm 1 \pm i)$, то есть $\sqrt2 + \sqrt2 i$, $-\sqrt2 + \sqrt2 i$, $-\sqrt2 - \sqrt2 i$, $\sqrt2 - \sqrt2 i$.

3. $|8i| = 8$, $\varphi = \dfrac{\pi}{2}$, модуль корней $2$, аргументы $\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi k}{3}$: $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{5\pi}{6}$, $\dfrac{3\pi}{2}$. Ответ: $\sqrt3 + i$, $-\sqrt3 + i$, $-2i$.

4. Корни и разложение многочлена

Схема. Для многочлена с целыми коэффициентами:

4.1. Задача 4

Для $P(x) = 2x^4 + x^3 + 5x^2 - 13x + 5$ кандидаты в корни: $\pm1, \pm5, \pm\dfrac12, \pm\dfrac52$. Проверяем $x = 1$: $2 + 1 + 5 - 13 + 5 = 0$, корень есть.

Схема Горнера для $c = 1$, коэффициенты $2, 1, 5, -13, 5$:

Получили $P(x) = (x-1)(2x^3 + 3x^2 + 8x - 5)$. Для кубического множителя проверяем $x = \dfrac12$: $\dfrac14 + \dfrac34 + 4 - 5 = 0$, корень. Горнер для $c = \dfrac12$, коэффициенты $2, 3, 8, -5$:

Остаётся $2x^2 + 4x + 10 = 2(x^2 + 2x + 5)$. Дискриминант $4 - 20 = -16$, корни $x = \dfrac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.

Ответ. Корни: $1$, $\dfrac12$, $-1 + 2i$, $-1 - 2i$. Разложение над $\mathbb C$:

$P(x) = 2(x-1)\left(x-\tfrac12\right)(x+1-2i)(x+1+2i).$

Если потребуется разложение над $\mathbb R$, сопряжённые множители сворачиваются: $(x+1-2i)(x+1+2i) = x^2 + 2x + 5$, и $P(x) = (x-1)(2x-1)(x^2+2x+5)$.

4.2. Потренируйтесь

1. $P(x) = x^4 - 4x^3 + 7x^2 - 16x + 12$.
2. $P(x) = 2x^4 - 7x^3 + 8x^2 - 2x - 4$.
3. Разложить $x^4 + 4$ на множители над $\mathbb R$ и $\mathbb C$.

Ответы

1. Корни $x = 1$ и $x = 3$ (проверка: $P(1) = 0$, $P(3) = 81 - 108 + 63 - 48 + 12 = 0$). После деления остаётся $x^2 + 4$, корни $\pm 2i$. Разложение: $(x-1)(x-3)(x-2i)(x+2i)$.

2. Кандидаты: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm\dfrac12$. Корни $x = 2$ и $x = -\dfrac12$, остаток $x^2 - 2x + 2$ с корнями $1 \pm i$. Разложение: $2(x-2)\left(x+\tfrac12\right)(x-1-i)(x-1+i)$, или над $\mathbb R$: $(x-2)(2x+1)(x^2 - 2x + 2)$.

3. $x^4 + 4 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$ (дополнение до полного квадрата: $x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$). Корни $\pm1\pm i$. Над $\mathbb C$: $(x-1-i)(x-1+i)(x+1-i)(x+1+i)$.

5. Многочлен по заданным корням

Схема. Если коэффициенты вещественные и $c$ — комплексный корень, то $\bar c$ тоже корень. Значит, к условию надо добавить сопряжённый корень, а пару $(x - c)(x - \bar c)$ сразу записать вещественным трёхчленом $x^2 - 2\operatorname{Re}c\cdot x + |c|^2$. Степень многочлена подсказывает, сколько корней нужно всего.

5.1. Задача 5

Многочлен третьей степени, два корня известны: $-4$ и $1 + 2i$. Вещественность коэффициентов даёт третий корень $1 - 2i$. Больше корней у многочлена степени 3 быть не может, значит, корни найдены все.

$(x - (1+2i))(x - (1-2i)) = x^2 - 2x + (1 + 4) = x^2 - 2x + 5.$

$P(x) = (x+4)(x^2 - 2x + 5) = x^3 - 2x^2 + 5x + 4x^2 - 8x + 20 = x^3 + 2x^2 - 3x + 20.$

Ответ: $P(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 20$ (с точностью до постоянного множителя, например $2x^3 + 4x^2 - 6x + 40$ тоже подходит).

5.2. Потренируйтесь

1. Степень 3, вещественные коэффициенты, корни $3$ и $2 - i$.
2. Степень 4, вещественные коэффициенты, корни $i$ и $1 + i$.
3. Степень 3, вещественные коэффициенты, корни $2$ и $-1 + 3i$.

Ответы

1. $(x-3)(x^2 - 4x + 5) = x^3 - 7x^2 + 17x - 15$.

2. Корни $i, -i, 1+i, 1-i$: $(x^2+1)(x^2 - 2x + 2) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2$.

3. $(x-2)(x^2 + 2x + 10) = x^3 + 6x - 20$.

6. Множества точек на плоскости

Схема. Подставить $z = x + iy$ и перейти к уравнению или неравенству на $x, y$; либо, что быстрее, узнать геометрический смысл выражения:

6.1. Задача 6

Условие $-\dfrac{\pi}{6} \le \arg(z + 6 + 2i) \le \dfrac{2\pi}{3}$ записывается как $\arg(z - z_0)$ при $z_0 = -6 - 2i$, так как $z + 6 + 2i = z - (-6-2i)$. Вершина угла — точка $(-6, -2)$. Лучи идут из неё под углами $-30^\circ$ и $120^\circ$ к положительному направлению оси $\operatorname{Re}$. Множество — угол между лучами раствором $\dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$ (то есть $150^\circ$), содержащий направление «вправо». Границы входят (неравенства нестрогие). Вершина не входит: в ней $\arg$ не определён.

6.2. Задача 10

$|z - 2| = |1 - 2\bar z|$. Модуль сопряжённого числа равен модулю самого числа, поэтому

$|1 - 2\bar z| = \left|\overline{1 - 2z}\right| = |1 - 2z| = 2\left|z - \tfrac12\right|.$

Уравнение принимает вид $|z - 2| = 2\left|z - \tfrac12\right|$ — это окружность Аполлония. Раскроем в координатах:

$(x-2)^2 + y^2 = 4\left((x - \tfrac12)^2 + y^2\right) \iff x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4x^2 - 4x + 1 + 4y^2 \iff 3x^2 + 3y^2 = 3.$

Ответ: $x^2 + y^2 = 1$, единичная окружность $|z| = 1$ с центром в нуле.

6.3. Потренируйтесь

1. $\dfrac{\pi}{4} \le \arg(z - 1 + i) < \dfrac{\pi}{2}$.
2. $1 \le |z + i| < 2$ и $\operatorname{Re} z \ge 0$.
3. $|z - 1| = |z + i|$.
4. $|z - 1| = 2|z + 2|$.

Ответы

1. Вершина $1 - i$, угол между лучами под $45^\circ$ (входит) и $90^\circ$ (не входит), вершина выколота. Это угол между лучом под $45^\circ$ и вертикальным лучом вверх, вершина в точке $(1, -1)$.

2. Кольцо с центром $-i$, радиусами $1$ и $2$ (внутренняя окружность входит, внешняя нет), из которого оставлена правая полуплоскость $x \ge 0$ вместе с границей.

3. Серединный перпендикуляр к отрезку между точками $1$ и $-i$, то есть прямая $y = -x$ (проверка: точка $1 - i$ равноудалена и от $1$, и от $-i$ на расстояние $1$).

4. $(x-1)^2 + y^2 = 4\left((x+2)^2 + y^2\right) \iff x^2 + y^2 + 6x + 5 = 0 \iff (x+3)^2 + y^2 = 4$. Окружность с центром $-3$ радиуса $2$.

7. Функции комплексного переменного

Схема. Для $z = x + iy$:

$e^{z} = e^{x}(\cos y + i\sin y), \qquad \cos(x+iy) = \cos x\operatorname{ch}y - i\sin x\operatorname{sh}y, \qquad \sin(x+iy) = \sin x\operatorname{ch}y + i\cos x\operatorname{sh}y.$

У экспоненты: $|e^z| = e^{\operatorname{Re}z}$, $\operatorname{Arg}e^z = \operatorname{Im}z + 2\pi k$. Главное значение аргумента берётся в $(-\pi, \pi]$.

7.1. Задача 7

Здесь $x = 4$, $y = -7$. Функция $\operatorname{ch}$ чётная, $\operatorname{sh}$ нечётная: $\operatorname{ch}(-7) = \operatorname{ch}7$, $\operatorname{sh}(-7) = -\operatorname{sh}7$. Подставляем:

$\cos(4 - 7i) = \cos 4\operatorname{ch}7 - i\sin 4\operatorname{sh}(-7) = \cos 4\operatorname{ch}7 + i\sin 4\operatorname{sh}7.$

Ответ: $\operatorname{Re}\omega = \cos 4\cdot\operatorname{ch}7 \approx -358{,}4$, $\operatorname{Im}\omega = \sin 4\cdot\operatorname{sh}7 \approx -415{,}0$.

7.2. Задача 8

Для $z = 2 + 3i$ сопряжённое $\bar z = 2 - 3i$. Показатель:

$2\bar z - 3 + i = 4 - 6i - 3 + i = 1 - 5i.$

Тогда

$\omega = e^{1-5i} = e\left(\cos 5 - i\sin 5\right), \qquad |\omega| = e.$

Аргумент $\operatorname{Arg}\omega = -5 + 2\pi k$. Главное значение лежит в $(-\pi, \pi]$: $-5 + 2\pi \approx 1{,}283$.

Ответ: $\omega = e^{1-5i} = e(\cos 5 - i\sin 5) \approx 0{,}77 + 2{,}61i$, $|\omega| = e$, $\operatorname{Arg}\omega = -5 + 2\pi k$, главное значение $2\pi - 5$.

Если в условии нет сопряжения, то есть $\omega = e^{2z - 3 + i}$: показатель $4 + 6i - 3 + i = 1 + 7i$, $\omega = e(\cos 7 + i\sin 7)$, $|\omega| = e$, $\operatorname{Arg}\omega = 7 + 2\pi k$, главное значение $7 - 2\pi \approx 0{,}717$.

7.3. Потренируйтесь

1. $\operatorname{Re}$ и $\operatorname{Im}$ числа $\sin(2+3i)$.
2. $\omega = e^{iz}$ при $z = 1 - i$: найти $|\omega|$ и $\operatorname{Arg}\omega$.
3. $\omega = e^{z^2}$ при $z = 1 + i$.
4. $\omega = e^{i\bar z + 2}$ при $z = 1 + 2i$.

Ответы

1. $\operatorname{Re} = \sin 2\operatorname{ch}3 \approx 9{,}15$, $\operatorname{Im} = \cos 2\operatorname{sh}3 \approx -4{,}17$.

2. $iz = i(1 - i) = i + 1$, $\omega = e^{1+i}$: $|\omega| = e$, $\operatorname{Arg}\omega = 1 + 2\pi k$.

3. $z^2 = 2i$, $\omega = e^{2i} = \cos 2 + i\sin 2$: $|\omega| = 1$, $\operatorname{Arg}\omega = 2 + 2\pi k$.

4. $\bar z = 1 - 2i$, $i\bar z = i + 2$, показатель $4 + i$: $\omega = e^4(\cos 1 + i\sin 1)$, $|\omega| = e^4$, $\operatorname{Arg}\omega = 1 + 2\pi k$.

8. Квадратное уравнение над комплексными числами

Схема. Формулы те же, что над $\mathbb R$: $z_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, $D = b^2 - 4ac$, но $D$ теперь комплексное, и $\sqrt{D}$ — это любой из двух корней (второй даст те же $z_1, z_2$ в другом порядке). Корень из $D$ ищется через систему $x^2 - y^2 = a$, $2xy = b$ (см. раздел 3).

8.1. Задача 9

Уравнение $z^2 + (1-i)z - 4 + 7i = 0$, здесь $a = 1$, $b = 1 - i$, $c = -4 + 7i$.

Дискриминант:

$D = (1-i)^2 - 4(-4+7i) = -2i + 16 - 28i = 16 - 30i.$

Корень из $D$: $x + yi$ с $x^2 - y^2 = 16$, $2xy = -30$, $x^2 + y^2 = |D| = \sqrt{256 + 900} = 34$. Тогда $x^2 = 25$, $y^2 = 9$, а произведение $xy = -15$ отрицательно, значит $x$ и $y$ разных знаков: $\sqrt D = \pm(5 - 3i)$. Проверка: $(5-3i)^2 = 25 - 30i - 9 = 16 - 30i$.

Корни:

$z = \frac{-(1-i) \pm (5-3i)}{2}: \quad z_1 = \frac{-1 + i + 5 - 3i}{2} = 2 - i, \quad z_2 = \frac{-1 + i - 5 + 3i}{2} = -3 + 2i.$

Ответ: $z_1 = 2 - i$, $z_2 = -3 + 2i$.

8.2. Потренируйтесь

1. $z^2 - (3+i)z + 2 + 2i = 0$.
2. $z^2 - (2+i)z + 1 + i = 0$.
3. $z^4 = -4$.
4. $z^2 + 2z + 5 = 0$.

Ответы

1. $D = (3+i)^2 - 4(2+2i) = 8 + 6i - 8 - 8i = -2i = (1-i)^2$, корни $\dfrac{3 + i \pm (1-i)}{2}$: $z = 2$ и $z = 1 + i$.

2. $D = (2+i)^2 - 4(1+i) = 3 + 4i - 4 - 4i = -1 = i^2$, корни $\dfrac{2 + i \pm i}{2}$: $z = 1 + i$ и $z = 1$.

3. $z^4 = 4(\cos\pi + i\sin\pi)$, модуль корней $\sqrt2$, аргументы $\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2}$: $z = \pm1 \pm i$.

4. $D = 4 - 20 = -16$, $\sqrt D = 4i$, $z = \dfrac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.

Частые ошибки

• Аргумент не в той четверти. $\operatorname{arctg}\dfrac{b}{a}$ верен только при $a > 0$. Для $-1 + i$ получится $-\dfrac{\pi}{4}$, а надо $\dfrac{3\pi}{4}$. Сначала нарисуйте точку, потом считайте угол.
• Забытое $2\pi k$ в корнях и $\operatorname{Arg}$. Корней $n$ штук, $k = 0, \dots, n-1$; $\operatorname{Arg}$ — это всё множество значений, $\arg$ — одно главное.
• Вместо комплексного корня добавлен только он один. Для вещественного многочлена всегда идёт пара $c$ и $\bar c$.
• Деление без сопряжённого. Мнимую единицу в знаменателе оставлять нельзя, домножайте на $\bar b$.
• Потерян $i$ в синусе. $\cos(iy) = \operatorname{ch}y$, но $\sin(iy) = i\operatorname{sh}y$.
• Старший коэффициент в разложении. $2x^4 + \dots = 2(x-x_1)\dots(x-x_4)$, не просто произведение скобок.
• Граница множества. Нестрогое неравенство — граница входит (сплошная линия), строгое — нет (пунктир). Вершина угла в условиях с $\arg$ всегда выколота.
• Не проверили по Виету или подстановкой. Комплексная арифметика ошибается легко, а проверка короткая.

Мини-тренажёр

Пробный вариант, по структуре такой же, как вариант 3. Время — 60–80 минут.

1. $\dfrac{2-i}{1+3i} + \dfrac{i^{43}(1-i)}{3+i^{10}}$ — в алгебраической форме.
2. $\dfrac{(1+i)^6(1-\sqrt3 i)^4}{(\sqrt3 + i)^8}$ — в тригонометрической форме.
3. Все значения $\sqrt[4]{-8 + 8\sqrt3 i}$.
4. Корни $P(x) = 3x^4 - 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2$ над $\mathbb C$ и разложение на множители.
5. Многочлен с вещественными коэффициентами степени 3 с корнями $2$ и $-1 + 3i$.
6. Множество точек $\dfrac{\pi}{3} \le \arg(z - 1 + i) \le \pi$.
7. $\operatorname{Re}$ и $\operatorname{Im}$ числа $\sin(3 + 2i)$.
8. $\omega = e^{i\bar z + 2}$ при $z = 1 + 2i$: $\omega$, $|\omega|$, $\operatorname{Arg}\omega$.
9. $z^2 - (4+i)z + 3 + 3i = 0$.
10. Линия $|z + 1| = 2|z - 2|$.

Ответы

1. $\dfrac{2-i}{1+3i} = \dfrac{(2-i)(1-3i)}{10} = \dfrac{-1-7i}{10}$; $i^{43} = i^3 = -i$, $3 + i^{10} = 2$, $\dfrac{-i(1-i)}{2} = \dfrac{-1-i}{2}$. Сумма: $-\dfrac35 - \dfrac65 i$.

2. Числитель: $8$, аргумент $\dfrac{6\pi}{4}$, и $16$, аргумент $-\dfrac{4\pi}{3}$; произведение $128$, аргумент $\dfrac{3\pi}{2} - \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6}$. Знаменатель: $2^8 = 256$, аргумент $\dfrac{8\pi}{6} = \dfrac{4\pi}{3}$. Частное: модуль $\dfrac12$, аргумент $\dfrac{\pi}{6} - \dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{7\pi}{6} \equiv \dfrac{5\pi}{6}$. Ответ: $\dfrac12\left(\cos\dfrac{5\pi}{6} + i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt3}{4} + \dfrac14 i$.

3. $|{-8} + 8\sqrt3 i| = 16$, $\varphi = \dfrac{2\pi}{3}$. Модуль корней $2$, аргументы $\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi k}{2}$. Ответ: $\sqrt3 + i$, $-1 + \sqrt3 i$, $-\sqrt3 - i$, $1 - \sqrt3 i$.

4. Корни $2$, $-\dfrac13$, $\dfrac{-1 \pm \sqrt3 i}{2}$. Разложение: $3(x-2)\left(x+\tfrac13\right)\left(x - \tfrac{-1+\sqrt3 i}{2}\right)\left(x - \tfrac{-1-\sqrt3 i}{2}\right)$, над $\mathbb R$: $(x-2)(3x+1)(x^2+x+1)$.

5. $(x-2)(x^2+2x+10) = x^3 + 6x - 20$.

6. Угол с вершиной в точке $1 - i$ (выколота), между лучами под $60^\circ$ и $180^\circ$ (последний — луч влево по горизонтали), границы входят; раствор $120^\circ$.

7. $\operatorname{Re} = \sin 3\operatorname{ch}2 \approx 0{,}53$, $\operatorname{Im} = \cos 3\operatorname{sh}2 \approx -3{,}59$.

8. $i\bar z = i(1-2i) = 2 + i$, показатель $4 + i$: $\omega = e^4(\cos 1 + i\sin 1)$, $|\omega| = e^4$, $\operatorname{Arg}\omega = 1 + 2\pi k$.

9. $D = (4+i)^2 - 4(3+3i) = 3 - 4i = (2-i)^2$, корни $\dfrac{4 + i \pm (2-i)}{2}$: $z = 3$ и $z = 1 + i$.

10. $(x+1)^2 + y^2 = 4\left((x-2)^2 + y^2\right) \iff x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0 \iff (x-3)^2 + y^2 = 4$. Окружность с центром $3$, радиус $2$.

Шпаргалка