Практика 4. Множества на комплексной плоскости и функции комплексного переменного

Первая половина занятия — задачи на изображение множеств на комплексной плоскости и на извлечение корней: та же техника, что в практике 2, но условия заданы не готовым «кольцом» или «сектором», а неравенством, которое ещё надо распознать. Вторая половина — новая тема: функции комплексного переменного. Экспонента, синус и косинус определяются для комплексного аргумента так, чтобы на действительной оси совпадать с привычными, и из этого сразу получаются гиперболические функции и неожиданный факт: синус на $\mathbb{C}$ не ограничен.

1. Множества точек на комплексной плоскости

Числу $z = x + iy$ отвечает точка $(x, y)$: горизонтальная ось — $\operatorname{Re} z$, вертикальная — $\operatorname{Im} z$. Готовый словарь «условие — множество» для окружностей, кругов, колец и секторов собран в практике 2; здесь разобраны три условия, которые к нему не сводятся напрямую.

1.1. Условие на мнимую часть квадрата

Задача 1. Изобразить множество точек, для которых $\operatorname{Im} z^2 > 2$.

Решение. Подставляем $z = x + iy$ и раскрываем квадрат:

$z^2 = (x + iy)^2 = x^2 + 2ixy + (iy)^2 = (x^2 - y^2) + 2xy\, i.$

Значит, $\operatorname{Re} z^2 = x^2 - y^2$, а $\operatorname{Im} z^2 = 2xy$. Условие превращается в

$2xy > 2 \iff xy > 1.$

Граница $xy = 1$ — гипербола $y = \dfrac{1}{x}$ с ветвями в первой и третьей четвертях; её асимптоты — сами оси. Неравенство $xy > 1$ выполнено в двух областях, лежащих «за» ветвями, если смотреть от начала координат: в первой четверти это точки выше ветви, в третьей — ниже. Проверка по точке: для $z = 2 + 2i$ произведение $xy = 4 > 1$, и действительно $\operatorname{Im} z^2 = 8 > 2$; для $z = 0$ получаем $0 > 1$ — неверно, начало координат в множество не входит.

Ответ: две открытые области, ограниченные ветвями гиперболы $xy = 1$; сама гипербола не входит, потому что неравенство строгое (на рисунке её рисуют пунктиром).

1.2. Сектор по аргументу

Задача 2. Изобразить множество точек, для которых

$-\frac{\pi}{2} \le \arg(z + 1 - i) \le \frac{3\pi}{4}.$

Решение. Приводим выражение под аргументом к виду $z - z_0$:

$z + 1 - i = z - (-1 + i), \qquad \text{то есть } z_0 = -1 + i.$

Дальше работает общее правило: $\arg(z - z_0)$ — это направление из точки $z_0$ на точку $z$, поэтому двойное неравенство задаёт все направления от $-\dfrac{\pi}{2}$ до $\dfrac{3\pi}{4}$, отсчитанные против часовой стрелки.

Правило. Условие $\varphi_1 \le \arg(z - z_0) \le \varphi_2$ задаёт сектор с вершиной в $z_0$, ограниченный лучами под углами $\varphi_1$ и $\varphi_2$, выходящими из $z_0$.

Здесь вершина — точка $(-1, 1)$, один луч идёт из неё вертикально вниз (угол $-\dfrac{\pi}{2}$), второй — влево-вверх под углом $\dfrac{3\pi}{4}$. Раствор сектора $\dfrac{3\pi}{4} - \left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{5\pi}{4}$, то есть больше развёрнутого угла: заштрихована бо́льшая часть плоскости, та, что содержит направление вправо ($\arg = 0$). Неравенства нестрогие, поэтому оба луча входят в множество, а сама вершина $z_0$ — нет: у нуля аргумент не определён.

1.3. Неравенство с модулем и действительной частью

Задача 3. Изобразить множество точек, для которых $|z| + \operatorname{Re} z < 1$.

Решение. Подставляем $z = x + iy$:

$\sqrt{x^2 + y^2} + x < 1 \iff \sqrt{x^2 + y^2} < 1 - x.$

Слева неотрицательное число, поэтому неравенство возможно только при $1 - x > 0$; при этом условии обе части неотрицательны и их можно возвести в квадрат:

$x^2 + y^2 < 1 - 2x + x^2 \iff y^2 < 1 - 2x \iff -\sqrt{1 - 2x} < y < \sqrt{1 - 2x}.$

Граница $y^2 = 1 - 2x$ — парабола с вершиной в точке $\left(\dfrac12, 0\right)$, ветви направлены влево; мнимую ось она пересекает в точках $y = \pm 1$. Искомое множество — открытая внутренность этой параболы. Проверка: $z = 0$ даёт $0 + 0 < 1$ — верно, и начало координат действительно лежит внутри.

Ответ: внутренность параболы $y^2 = 1 - 2x$ без границы.

2. Корни n-й степени

Схема из лекции 3 всегда одна и та же: найти $|z|$, найти $\varphi = \arg z$ по знакам $x$ и $y$, записать

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right), \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1.$

2.1. Корень четвёртой степени из 1 − i

Задача 4. Найти все значения $\sqrt[4]{1 - i}$.

Решение. Для $z = 1 - i$ модуль $|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt 2$. Точка $(1, -1)$ лежит в четвёртой четверти, $\left|\dfrac{y}{x}\right| = 1$, острый угол $\dfrac{\pi}{4}$, поэтому

$\varphi_0 = -\frac{\pi}{4} \quad \text{или, в промежутке } [0, 2\pi), \quad \varphi_0 = \frac{7\pi}{4}.$

Тригонометрическая форма: $z = \sqrt 2\left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{4} + 2\pi k\right) + i \sin\left(\dfrac{7\pi}{4} + 2\pi k\right)\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Модуль корней: $\sqrt[4]{\sqrt 2} = \left(2^{1/2}\right)^{1/4} = 2^{1/8}$. Аргументы делим на $4$:

$\frac{\frac{7\pi}{4} + 2\pi k}{4} = \frac{7\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}.$

$\sqrt[4]{1 - i} = 2^{1/8}\left(\cos\left(\frac{7\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}\right)\right), \qquad k = 0, 1, 2, 3.$

Четыре точки на окружности радиуса $2^{1/8}$ с шагом $\dfrac{\pi}{2}$ — вершины квадрата.

2.2. Корень третьей степени из 2 − 2√3 i

Задача 5. Найти все значения $\sqrt[3]{2 - 2\sqrt 3\, i}$.

Решение. Модуль: $|z| = \sqrt{4 + 12} = 4$. Для аргумента считаем косинус и синус:

$\cos \varphi_0 = \frac{2}{4} = \frac12, \qquad \sin \varphi_0 = \frac{-2\sqrt 3}{4} = -\frac{\sqrt 3}{2}.$

Косинус положителен, синус отрицателен — четвёртая четверть, $\varphi_0 = -\dfrac{\pi}{3}$, то есть $\dfrac{5\pi}{3}$ в промежутке $[0, 2\pi)$. Тогда

$z = 4\left(\cos\left(\frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right)\right),$

$\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{4}\left(\cos\left(\frac{5\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}\right)\right), \qquad k = 0, 1, 2,$

где $\sqrt[3]{4} = 2^{2/3} \approx 1{,}587$. Аргументы трёх корней: $\dfrac{5\pi}{9}$, $\dfrac{11\pi}{9}$, $\dfrac{17\pi}{9}$ — вершины правильного треугольника. Если брать $\varphi_0 = -\dfrac{\pi}{3}$, получится тот же набор: $-\dfrac{\pi}{9}$, $\dfrac{5\pi}{9}$, $\dfrac{11\pi}{9}$, ведь $-\dfrac{\pi}{9}$ и $\dfrac{17\pi}{9}$ отличаются на $2\pi$.

3. Тригонометрическая форма числа 1 − sin α + i cos α

Задача 6. Для $z = 1 - \sin \alpha + i \cos \alpha$ найти модуль и аргумент.

Решение. Действительная и мнимая части читаются сразу: $\operatorname{Re} z = 1 - \sin \alpha$, $\operatorname{Im} z = \cos \alpha$. Модуль:

$|z| = \sqrt{(1 - \sin \alpha)^2 + \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - 2\sin\alpha + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = \sqrt{2(1 - \sin \alpha)}.$

Для аргумента выписываем систему

$\cos \varphi = \frac{1 - \sin \alpha}{\sqrt{2(1 - \sin \alpha)}}, \qquad \sin \varphi = \frac{\cos \alpha}{\sqrt{2(1 - \sin \alpha)}},$

откуда $\operatorname{tg} \varphi = \dfrac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}$. Эту дробь сворачивают через половинный угол. Так как $\sin \alpha = 2 \sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}$ и $\sin^2\dfrac{\alpha}{2} + \cos^2\dfrac{\alpha}{2} = 1$:

$1 - \sin \alpha = \left(\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}\right)^2, \qquad \cos \alpha = \left(\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}\right)\left(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}\right).$

Сокращаем на общий множитель и делим числитель и знаменатель на $\cos\dfrac{\alpha}{2}$:

$\operatorname{tg} \varphi = \frac{\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 + \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right).$

Ответ: $|z| = \sqrt{2(1 - \sin\alpha)}$, $\varphi = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\alpha}{2}$ (с точностью до $\pi k$, см. предупреждение ниже).

Модуль тоже удобно записать через половинный угол: $|z| = \sqrt 2\left|\cos\dfrac{\alpha}{2} - \sin\dfrac{\alpha}{2}\right| = 2\left|\cos\left(\dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{\pi}{4}\right)\right|$.

Пример. При $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$ получаем $z = \dfrac12 + \dfrac{\sqrt 3}{2} i$. Формулы дают $|z| = \sqrt{2\left(1 - \frac12\right)} = 1$ и $\varphi = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3}$ — ровно то, что видно из алгебраической формы.

4. Функции комплексного переменного

Дальше всюду $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$.

4.1. Экспонента

Определение 1. Для $z = x + iy$ полагают

$e^z = e^{x + iy} = e^x \cdot e^{iy} = e^x(\cos y + i \sin y).$

Здесь $e^x$ — обычная действительная экспонента, а $e^{iy}$ раскрывается по формуле Эйлера. Отсюда сразу

$\operatorname{Re} e^z = e^x \cos y, \qquad \operatorname{Im} e^z = e^x \sin y.$

Определение согласовано со всем, что было раньше: при $y = 0$ получается $e^x$, при $x = 0$ — формула Эйлера $e^{iy} = \cos y + i\sin y$, а правило $e^{z_1 + z_2} = e^{z_1} e^{z_2}$ сохраняется, потому что модули перемножаются, а аргументы складываются.

Следствие. $|e^z| = e^x$ и $\arg e^z = y + 2\pi k$. В частности, $e^z \ne 0$ ни при каком $z$, а функция периодична с периодом $2\pi i$:

$e^{z + 2\pi i} = e^x\left(\cos(y + 2\pi) + i \sin(y + 2\pi)\right) = e^z.$

4.2. Синус и косинус через экспоненту

Формула Эйлера, записанная для углов $\varphi$ и $-\varphi$, даёт систему

$e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi, \qquad e^{-i\varphi} = \cos \varphi - i \sin \varphi.$

Складывая и вычитая эти равенства, выражаем через экспоненту сами синус и косинус:

$\cos \varphi = \frac{1}{2}\left(e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}\right), \qquad \sin \varphi = \frac{1}{2i}\left(e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}\right).$

Эти же формулы принимают за определение синуса и косинуса комплексного аргумента: для любого $z \in \mathbb{C}$

$\cos z = \frac{1}{2}\left(e^{iz} + e^{-iz}\right), \qquad \sin z = \frac{1}{2i}\left(e^{iz} - e^{-iz}\right).$

4.3. Гиперболические косинус и синус

Определение 2. Для $y \in \mathbb{R}$

$\operatorname{ch} y = \frac{1}{2}\left(e^{y} + e^{-y}\right) \quad \text{— гиперболический косинус}, \qquad \operatorname{sh} y = \frac{1}{2}\left(e^{y} - e^{-y}\right) \quad \text{— гиперболический синус}.$

Это те же комбинации экспонент, что и выше, только без мнимой единицы в показателе. Прямой подстановкой проверяются свойства: $\operatorname{ch}$ чётна, $\operatorname{sh}$ нечётна, $\operatorname{ch} 0 = 1$, $\operatorname{sh} 0 = 0$ и

$\operatorname{ch}^2 y - \operatorname{sh}^2 y = \frac{(e^y + e^{-y})^2 - (e^y - e^{-y})^2}{4} = \frac{4 e^y e^{-y}}{4} = 1.$

Теперь подставим в тригонометрические функции чисто мнимый аргумент $iy$.

Утверждение 1. $\cos(iy) = \operatorname{ch} y$ и $\sin(iy) = i \operatorname{sh} y$.

Доказательство. Для косинуса $i \cdot iy = -y$, поэтому

$\cos(iy) = \frac{1}{2}\left(e^{i(iy)} + e^{-i(iy)}\right) = \frac{1}{2}\left(e^{-y} + e^{y}\right) = \operatorname{ch} y.$

Для синуса

$\sin(iy) = \frac{1}{2i}\left(e^{i(iy)} - e^{-i(iy)}\right) = \frac{1}{2i}\left(e^{-y} - e^{y}\right) = -\frac{1}{2i}\left(e^{y} - e^{-y}\right) = -\frac{\operatorname{sh} y}{i} = i \operatorname{sh} y,$

потому что $\dfrac{1}{i} = -i$, а значит $-\dfrac{1}{i} = i$. $\blacksquare$

4.4. Синус и косинус комплексного аргумента

Формулы сложения для $\sin$ и $\cos$ остаются верными и на $\mathbb{C}$, поэтому достаточно разложить $z = x + iy$ и подставить утверждение 1.

$\sin z = \sin(x + iy) = \sin x \cos(iy) + \cos x \sin(iy) = \sin x \operatorname{ch} y + i \cos x \operatorname{sh} y,$

$\cos z = \cos(x + iy) = \cos x \cos(iy) - \sin x \sin(iy) = \cos x \operatorname{ch} y - i \sin x \operatorname{sh} y.$

Действительные и мнимые части читаются прямо из ответа:

При $y = 0$ обе формулы дают привычные $\sin x$ и $\cos x$ — определение действительный случай не ломает.

Утверждение 2. $|\sin z|^2 = \sin^2 x + \operatorname{sh}^2 y$, поэтому на $\mathbb{C}$ синус не ограничен.

Доказательство. По формуле выше и тождеству $\operatorname{ch}^2 y = 1 + \operatorname{sh}^2 y$:

$|\sin z|^2 = \sin^2 x \operatorname{ch}^2 y + \cos^2 x \operatorname{sh}^2 y = \sin^2 x \left(1 + \operatorname{sh}^2 y\right) + \cos^2 x \operatorname{sh}^2 y = \sin^2 x + \operatorname{sh}^2 y.$

Взяв $x = 0$ и $y \to +\infty$, получаем $|\sin(iy)| = \operatorname{sh} y \to +\infty$. $\blacksquare$

Частые ошибки

1. Читают $\arg(z + 1 - i)$ как направление из точки $1 - i$. Сдвиг записывается как $z - z_0$, поэтому $z_0 = -1 + i$.
2. Возводят $\sqrt{x^2 + y^2} < 1 - x$ в квадрат, не проверив знак правой части. Без условия $1 - x > 0$ переход неравносилен и в ответ попадают лишние точки.
3. Штрихуют область $xy > 1$ во второй и четвёртой четвертях. Произведение там отрицательно, и единицы оно не превзойдёт.
4. Переводят $-\frac{\pi}{3}$ в $\frac{5\pi}{6}$ вместо $\frac{5\pi}{3}$. Прибавлять нужно ровно $2\pi$; после деления на $n$ ошибка размножается на все корни.
5. Считают $\sqrt[4]{\sqrt 2}$ как $2^{1/4}$. Показатели перемножаются: $\left(2^{1/2}\right)^{1/4} = 2^{1/8}$.
6. Берут $k = 0, \dots, n$ и выписывают лишний корень, совпадающий с первым.
7. Пишут $\arg z = \operatorname{arctg}\frac{y}{x}$ без оглядки на четверть. Арктангенс задаёт угол только с точностью до $\pi$.
8. Ставят в формулу $\sin \varphi = \frac{1}{2i}(e^{i\varphi} + e^{-i\varphi})$ плюс. Нужна разность: с плюсом получится $\frac{\cos\varphi}{i}$.
9. Пишут $\sin(iy) = \operatorname{sh} y$ без $i$ или $\cos(iy) = i\operatorname{ch} y$ с лишним $i$. Верно ровно наоборот: косинус даёт действительное число, синус — чисто мнимое.
10. Считают, что $|\sin z| \le 1$ для любого $z \in \mathbb{C}$. Это верно только на действительной оси.

Мини-тренажёр

1. Изобразить множество точек, для которых $\operatorname{Im} z^2 < -2$.
2. Изобразить множество точек, для которых $|z| + \operatorname{Re} z < 4$.
3. Найти все значения $\sqrt[3]{-8i}$ и записать их в алгебраической форме.
4. Вычислить $\sin(i \ln 2)$.
5. Найти $\operatorname{Re}$ и $\operatorname{Im}$ числа $\cos\left(\frac{\pi}{2} + i\right)$.
6. Решить уравнение $e^z = -1$.

Ответы

1. $\operatorname{Im} z^2 = 2xy < -2 \iff xy < -1$. Множители разных знаков, поэтому множество лежит во второй и четвёртой четвертях: две открытые области за ветвями гиперболы $xy = -1$, граница не входит.

2. $\sqrt{x^2 + y^2} < 4 - x \iff x^2 + y^2 < 16 - 8x + x^2 \iff y^2 < 16 - 8x$. Внутренность параболы с вершиной $(2, 0)$, ветви влево, пересечение мнимой оси в точках $\pm 4$; граница не входит.

3. $|-8i| = 8$, аргумент $-\frac{\pi}{2}$, то есть $\frac{3\pi}{2}$. Модуль корней $\sqrt[3]{8} = 2$, аргументы $\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$: $\frac{\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{6}$, $\frac{11\pi}{6}$. Значения: $2i$, $-\sqrt 3 - i$, $\sqrt 3 - i$. Проверка: $(\sqrt 3 - i)^2 = 2 - 2\sqrt 3 i$, и $(2 - 2\sqrt3 i)(\sqrt 3 - i) = -8i$.

4. $\sin(i\ln 2) = i \operatorname{sh}(\ln 2) = i \cdot \frac{2 - \frac12}{2} = \frac{3}{4} i$.

5. $\cos\left(\frac{\pi}{2} + i\right) = \cos\frac{\pi}{2} \operatorname{ch} 1 - i \sin\frac{\pi}{2} \operatorname{sh} 1 = -i \operatorname{sh} 1$. Значит $\operatorname{Re} = 0$, $\operatorname{Im} = -\operatorname{sh} 1 = -\frac{e - e^{-1}}{2} \approx -1{,}175$.

6. $e^z = e^x(\cos y + i \sin y) = -1$ означает $e^x = |-1| = 1$ и $\cos y = -1$, $\sin y = 0$. Отсюда $x = 0$, $y = \pi + 2\pi k$, то есть $z = i\pi(2k + 1)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Шпаргалка