Практика 6. Разложение многочленов и геометрия комплексных чисел

Первая половина занятия — практика к лекции 5: многочлены раскладываются на множители над $\mathbb{C}$ и над $\mathbb{R}$. Все задачи держатся на двух фактах: у многочлена с вещественными коэффициентами комплексные корни ходят сопряжёнными парами, а каждая пара даёт вещественный квадратный множитель. Вторая половина возвращается к геометрии комплексной плоскости: поворот умножением, угол между векторами, действительная и мнимая части функции и множества точек, заданные уравнениями и неравенствами, — продолжение практики 4.

1. Сопряжённые корни и вещественные множители

Напоминание из лекции 5: над $\mathbb{C}$ многочлен степени $n$ раскладывается полностью,

$P_n(z) = (z - z_0)\,P_{n-1}(z) = a_n (z - z_1)^{k_1} (z - z_2)^{k_2} \cdots (z - z_s)^{k_s},$

где $k_i$ — кратности корней. Если коэффициенты вещественные, то вместе с корнем $z_0 = a + ib$ корнем будет и $\bar z_0 = a - ib$ (теорема 5). Перемножим два соответствующих множителя:

$\bigl(z - (a + ib)\bigr)\bigl(z - (a - ib)\bigr) = \bigl((z - a) - ib\bigr)\bigl((z - a) + ib\bigr) = (z - a)^2 + b^2 = z^2 - 2az + a^2 + b^2.$

То же в записи, которую удобно запомнить:

$(z - z_i)(z - \bar z_i) = z^2 - 2z \operatorname{Re} z_i + |z_i|^2.$

Коэффициенты справа вещественные, поэтому над $\mathbb{R}$ разложение выглядит так: линейные множители для вещественных корней и квадратные трёхчлены $z^2 - 2z\operatorname{Re} z_i + |z_i|^2$ для пар сопряжённых:

$P_n(z) = a_n (z - z_1)^{k_1} \cdots \bigl(z^2 - 2z \operatorname{Re} z_i + |z_i|^2\bigr)^{k_i} \cdots$

1.1. Задача 1: известен комплексный корень

Задача 1. Разложить на множители $P(z) = z^4 - 2z^3 + 10z^2 + 6z + 65$, если известно, что $z_1 = 2 - 3i$ — корень.

Решение. Коэффициенты вещественные, значит, $\bar z_1 = 2 + 3i$ — тоже корень. Пара даёт трёхчлен с $\operatorname{Re} z_1 = 2$ и $|z_1|^2 = 4 + 9 = 13$:

$\bigl(z - (2 + 3i)\bigr)\bigl(z - (2 - 3i)\bigr) = z^2 - 4z + 13.$

Второй множитель — тоже квадратный со старшим коэффициентом $1$. Вместо деления уголком можно подобрать его коэффициенты: $P(z) = (z^2 - 4z + 13)(z^2 + pz + q)$.

• при $z^3$: $p - 4 = -2$, откуда $p = 2$;
• свободный член: $13q = 65$, откуда $q = 5$;
• проверка при $z^2$: $q - 4p + 13 = 5 - 8 + 13 = 10$ — сходится;
• проверка при $z$: $13p - 4q = 26 - 20 = 6$ — сходится.

$P(z) = (z^2 - 4z + 13)(z^2 + 2z + 5).$

Корни второго множителя: $D = 4 - 20 = -16$, $z = \dfrac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.

Ответ. Над $\mathbb{R}$: $(z^2 - 4z + 13)(z^2 + 2z + 5)$. Над $\mathbb{C}$: $(z - 2 + 3i)(z - 2 - 3i)(z + 1 - 2i)(z + 1 + 2i)$, корни $2 \pm 3i$ и $-1 \pm 2i$, все простые.

2. Многочлен как геометрическая прогрессия

Задача 2. Разложить на множители $P(z) = z^4 - z^3 + z^2 - z + 1$.

Решение. Слагаемые, записанные с конца, — геометрическая прогрессия: $b_1 = 1$, знаменатель $q = -z$, $b_n = (-z)^{n-1}$, всего пять членов. Формула суммы $S = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ работает при $q \ne 1$, то есть при $z \ne -1$:

$P(z) = \frac{(-z)^5 - 1}{-z - 1} = \frac{-z^5 - 1}{-z - 1} = \frac{z^5 + 1}{z + 1}.$

Поэтому

$P(z) = 0 \iff \begin{cases} z^5 + 1 = 0, \\ z \ne -1. \end{cases}$

Корни пятой степени из $-1 = e^{i(\pi + 2\pi k)}$:

$z_k = e^{i\frac{\pi + 2\pi k}{5}} = \cos\left(\frac{\pi}{5} + \frac{2\pi k}{5}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{5} + \frac{2\pi k}{5}\right), \qquad k = 0, 1, 2, 3, 4.$

Корень $-1$ посторонний: он появился, когда прогрессию домножили на $z + 1$, а сам $P(-1) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 \ne 0$.

Ответ над $\mathbb{C}$.

$z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 = \left(z - e^{i\pi/5}\right)\left(z - e^{3i\pi/5}\right)\left(z - e^{7i\pi/5}\right)\left(z - e^{9i\pi/5}\right).$

Над $\mathbb{R}$. Корни разбиваются на сопряжённые пары: $e^{9i\pi/5} = e^{-i\pi/5}$ сопряжён с $e^{i\pi/5}$, а $e^{7i\pi/5} = e^{-3i\pi/5}$ — с $e^{3i\pi/5}$. У корней на единичной окружности $|z_i|^2 = 1$, и трёхчлен из раздела 1 принимает вид

$\left(z - e^{i\theta}\right)\left(z - e^{-i\theta}\right) = z^2 - 2z\cos\theta + 1.$

С $\cos\frac{\pi}{5} = \frac{1 + \sqrt5}{4}$ и $\cos\frac{3\pi}{5} = \frac{1 - \sqrt5}{4}$:

$z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 = \left(z^2 - \frac{1 + \sqrt5}{2}\,z + 1\right)\left(z^2 - \frac{1 - \sqrt5}{2}\,z + 1\right).$

Проверка: у коэффициентов $\frac{1 \pm \sqrt5}{2}$ сумма $1$ и произведение $-1$, поэтому при раскрытии получается $z^4 - 1 \cdot z^3 + (2 - 1)z^2 - 1 \cdot z + 1$.

3. Многочлен с заданными корнями

Задача 3. Составить многочлен со старшим коэффициентом $1$, у которого $-1$ — корень кратности $3$, а $2 - 3i$ и $2 + 3i$ — корни кратности $2$.

Решение. По полному разложению

$P(z) = (z + 1)^3 \bigl(z - (2 - 3i)\bigr)^2 \bigl(z - (2 + 3i)\bigr)^2 = (z + 1)^3 (z^2 - 4z + 13)^2.$

Пара $2 \pm 3i$ уже свёрнута в трёхчлен из задачи 1. Раскрываем по частям:

$(z + 1)^3 = (z + 1)(z^2 + 2z + 1) = z^3 + 3z^2 + 3z + 1,$

$(z^2 - 4z + 13)^2 = z^4 - 8z^3 + (16 + 26) z^2 - 104 z + 169 = z^4 - 8z^3 + 42z^2 - 104z + 169.$

Перемножаем:

$P(z) = z^7 - 5z^6 + 21z^5 - z^4 - 25z^3 + 237z^2 + 403z + 169.$

Степень $3 + 2 + 2 = 7$ — сумма кратностей. Быстрая проверка: $P(1) = 2^3 \cdot 10^2 = 800$, и сумма коэффициентов $1 - 5 + 21 - 1 - 25 + 237 + 403 + 169 = 800$; $P(0) = 1 \cdot 13^2 = 169$ — свободный член.

4. Разложение на множители

4.1. Биквадратный многочлен

Задача 4. Разложить $z^4 + 2z^2 + 1$.

Решение. Замена $t = z^2$: $t^2 + 2t + 1 = 0$, $D = 4 - 4 = 0$, $t = -1$ — двойной корень. Значит, $z^4 + 2z^2 + 1 = (z^2 + 1)^2$, а $z^2 = -1$ даёт $z = \pm i$, каждый кратности $2$.

Ответ. $(z - i)^2 (z + i)^2$ над $\mathbb{C}$ и $(z^2 + 1)^2$ над $\mathbb{R}$; корни $\pm i$ кратности $2$.

4.2. Известен комплексный корень

Задача 5. Разложить $z^4 + 11z^2 - 10z + 50$, если $z_0 = 1 - 2i$ — корень.

Решение. Как в задаче 1: второй корень $1 + 2i$, и

$(z - 1 + 2i)(z - 1 - 2i) = z^2 - 2z + 5.$

Подбираем $z^4 + 11z^2 - 10z + 50 = (z^2 - 2z + 5)(z^2 + pz + q)$: при $z^3$ получаем $p - 2 = 0$, $p = 2$; свободный член $5q = 50$, $q = 10$. Проверка: при $z^2$ — $q - 2p + 5 = 11$, при $z$ — $5p - 2q = -10$.

Корни $z^2 + 2z + 10$: $D = 4 - 40 = -36$, $z = \dfrac{-2 \pm 6i}{2} = -1 \pm 3i$.

Ответ.

$z^4 + 11z^2 - 10z + 50 = (z - 1 - 2i)(z - 1 + 2i)(z + 1 - 3i)(z + 1 + 3i) = (z^2 - 2z + 5)(z^2 + 2z + 10).$

4.3. Корни из единицы

Задача 6. Разложить $z^{10} + z^9 + \dots + z + 1$.

Решение. Снова прогрессия: $b_n = z^{n-1}$, $q = z$, $11$ членов. При $z \ne 1$

$z^{10} + z^9 + \dots + z + 1 = \frac{z^{11} - 1}{z - 1}.$

Корни — корни одиннадцатой степени из единицы, кроме самой единицы:

$\sqrt[11]{1} = \cos\frac{2\pi k}{11} + i \sin\frac{2\pi k}{11} = e^{i\frac{2\pi k}{11}}, \qquad k = 0, 1, \dots, 10.$

При $k = 0$ получается $z = 1$ — посторонний корень, остальные десять подходят.

Ответ над $\mathbb{C}$.

$z^{10} + z^9 + \dots + z + 1 = \prod_{k=1}^{10} \left(z - e^{i\frac{2\pi k}{11}}\right).$

Над $\mathbb{R}$. Корень с номером $11 - k$ сопряжён с корнем номер $k$: $e^{i\frac{2\pi(11-k)}{11}} = e^{-i\frac{2\pi k}{11}}$. Пары $k$ и $11 - k$ при $k = 1, \dots, 5$ дают

$z^{10} + z^9 + \dots + z + 1 = \prod_{k=1}^{5} \left(z^2 - 2z\cos\frac{2\pi k}{11} + 1\right).$

5. Делимость через корни делителя

Если у делителя нет кратных корней, делимость проверяется подстановкой: $A$ делится на $(x - c_1)\cdots(x - c_m)$ с попарно различными $c_i$ тогда и только тогда, когда $A(c_1) = \dots = A(c_m) = 0$. Это многократное применение теоремы Безу: $A(c_1) = 0$ даёт $A = (x - c_1)A_1$; подставляя $c_2 \ne c_1$, получаем $0 = (c_2 - c_1)A_1(c_2)$, откуда $A_1(c_2) = 0$, и так далее.

5.1. Задача 7: формула Муавра и делимость

Задача 7. Доказать, что $f(x) = (\cos\alpha + x\sin\alpha)^n - \cos n\alpha - x\sin n\alpha$ делится на $x^2 + 1$.

Доказательство. $x^2 + 1 = (x - i)(x + i)$, корни $\pm i$ различны, поэтому достаточно проверить $f(i) = f(-i) = 0$. По формуле Муавра

$f(i) = (\cos\alpha + i\sin\alpha)^n - \cos n\alpha - i\sin n\alpha = (\cos n\alpha + i \sin n\alpha) - \cos n\alpha - i\sin n\alpha = 0,$

$f(-i) = \bigl(\cos(-\alpha) + i\sin(-\alpha)\bigr)^n - \cos n\alpha + i\sin n\alpha = (\cos n\alpha - i\sin n\alpha) - \cos n\alpha + i\sin n\alpha = 0.$

По теореме Безу $f = (x - i)g$, а из $0 = f(-i) = -2i \cdot g(-i)$ следует $g(-i) = 0$ и $g = (x + i)h$. Итого $f = (x^2 + 1)h$. $\blacksquare$

5.2. Задача 8: делимость на трёхчлен с параметрами

Задача 8. Доказать, что $x^2\sin\alpha - \lambda x\sin 2\alpha + \lambda^2\sin\alpha$ делится на $x^2 - 2\lambda x\cos\alpha + \lambda^2$.

Доказательство. В такой записи делимость видна сразу: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, поэтому

$x^2\sin\alpha - 2\lambda x \sin\alpha\cos\alpha + \lambda^2\sin\alpha = \sin\alpha\,\bigl(x^2 - 2\lambda x\cos\alpha + \lambda^2\bigr). \ \blacksquare$

Тот же приём с корнями, что в задаче 7, доказывает и общий вариант, в котором задача обычно встречается в задачниках: $x^n\sin\alpha - \lambda^{n-1}x\sin n\alpha + \lambda^n\sin(n-1)\alpha$ делится на $x^2 - 2\lambda x\cos\alpha + \lambda^2$ (при $n = 2$ получается многочлен выше).

Доказательство общего варианта. Дискриминант делителя $4\lambda^2\cos^2\alpha - 4\lambda^2 = -4\lambda^2\sin^2\alpha$, его корни $x = \lambda(\cos\alpha \pm i\sin\alpha) = \lambda e^{\pm i\alpha}$. Подставим $x = \lambda e^{i\alpha}$ и вынесем $\lambda^n$:

$e^{in\alpha}\sin\alpha - e^{i\alpha}\sin n\alpha + \sin(n-1)\alpha.$

Действительная часть: $\cos n\alpha\sin\alpha - \cos\alpha\sin n\alpha + \sin(n-1)\alpha = -\sin(n\alpha - \alpha) + \sin(n-1)\alpha = 0$. Мнимая: $\sin n\alpha\sin\alpha - \sin\alpha\sin n\alpha = 0$. Коэффициенты многочлена вещественные, поэтому корнем будет и сопряжённый $\lambda e^{-i\alpha}$. При $\lambda \ne 0$ и $\sin\alpha \ne 0$ корни делителя различны, и делимость следует из начала раздела. В вырожденных случаях проверка прямая: при $\sin\alpha = 0$ делимое тождественно равно нулю, при $\lambda = 0$ оно равно $x^n\sin\alpha$, а делитель — $x^2$. $\blacksquare$

6. Поворот и угол между векторами

Умножение на $e^{i\varphi}$ поворачивает точку вокруг начала координат на угол $\varphi$ против часовой стрелки и не меняет модуль. В частности, $e^{i\pi/2} = i$ — поворот на прямой угол против часовой, $e^{-i\pi/2} = -i$ — по часовой.

6.1. Задача 9: поворот на прямой угол

Задача 9. Повернуть вектор $-\sqrt3 + 3i$ на угол $\frac{\pi}{2}$ и на угол $-\frac{\pi}{2}$.

Решение.

$i(-\sqrt3 + 3i) = -\sqrt3\, i + 3i^2 = -3 - \sqrt3\, i, \qquad -i(-\sqrt3 + 3i) = \sqrt3\, i - 3i^2 = 3 + \sqrt3\, i.$

Проверка: модули равны, $|-\sqrt3 + 3i| = \sqrt{3 + 9} = 2\sqrt3 = |-3 - \sqrt3 i|$, а скалярное произведение векторов $(-\sqrt3, 3)$ и $(-3, -\sqrt3)$ равно $3\sqrt3 - 3\sqrt3 = 0$.

6.2. Задача 10: угол между векторами

Задача 10. Найти угол между векторами $a = 4 - 3i$ (IV четверть) и $b = -\frac{5}{\sqrt2} + \frac{5}{\sqrt2}\,i$ (II четверть).

Решение через скалярное произведение. $a = (4, -3)$, $b = \left(-\frac{5}{\sqrt2}, \frac{5}{\sqrt2}\right)$, $|a| = 5$, $|b| = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{25}{2}} = 5$.

$\cos\varphi = \frac{a \cdot b}{|a|\,|b|} = \frac{-\frac{20}{\sqrt2} - \frac{15}{\sqrt2}}{25} = -\frac{35}{25\sqrt2} = -\frac{7}{5\sqrt2} = -\frac{7\sqrt2}{10}.$

Угол тупой, $\sin\varphi = \sqrt{1 - \frac{98}{100}} = \frac{\sqrt2}{10}$, поэтому $\operatorname{tg}\varphi = -\frac{1}{7}$ и

$\varphi = \arccos\left(-\frac{7\sqrt2}{10}\right) = \pi - \operatorname{arctg}\frac17 \approx 171{,}9^\circ.$

Решение через частное. Угол от $a$ до $b$ — это $\arg\frac{b}{a}$:

$\frac{b}{a} = \frac{b\,\bar a}{|a|^2} = \frac{5}{\sqrt2}\cdot\frac{(-1 + i)(4 + 3i)}{25} = \frac{-7 + i}{5\sqrt2}.$

Точка $(-7, 1)$ лежит во II четверти, $\arg\frac{b}{a} = \pi - \operatorname{arctg}\frac17$ — то же самое. Третий способ — разность аргументов: $b = 5e^{3\pi i/4}$, $\arg a = -\operatorname{arctg}\frac34$, и $\frac{3\pi}{4} + \operatorname{arctg}\frac34$ численно даёт тот же угол.

7. Действительная и мнимая части функции

Задача 11. Найти $\operatorname{Re} w$ и $\operatorname{Im} w$ как функции от $x$ и $y$, где $z = x + iy$.

Приём один: подставить $z = x + iy$, $\bar z = x - iy$, раскрыть скобки и, если есть дробь, домножить на число, сопряжённое знаменателю.

а) $w = \bar z - iz^2$. Поскольку $z^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$, имеем $iz^2 = -2xy + (x^2 - y^2)i$ и

$w = x - iy + 2xy - (x^2 - y^2)i = (x + 2xy) + (y^2 - x^2 - y)\,i.$

$\operatorname{Re} w = x + 2xy$, $\operatorname{Im} w = y^2 - x^2 - y$.

б) $w = \dfrac{1}{\bar z}$, $z \ne 0$:

$w = \frac{1}{x - iy} = \frac{x + iy}{x^2 + y^2}, \qquad \operatorname{Re} w = \frac{x}{x^2 + y^2}, \quad \operatorname{Im} w = \frac{y}{x^2 + y^2}.$

Короче: $\dfrac{1}{\bar z} = \dfrac{z}{z\bar z} = \dfrac{z}{|z|^2}$.

в) $w = \dfrac{iz + 1}{1 + \bar z}$, $z \ne -1$. Числитель $i(x + iy) + 1 = (1 - y) + ix$, знаменатель $(1 + x) - iy$. Домножаем на $(1 + x) + iy$:

$\bigl((1 - y) + ix\bigr)\bigl((1 + x) + iy\bigr) = (1 - y)(1 + x) - xy + i\bigl((1 - y)y + x(1 + x)\bigr).$

$\operatorname{Re} w = \frac{1 + x - y - 2xy}{(1 + x)^2 + y^2}, \qquad \operatorname{Im} w = \frac{x^2 + x + y - y^2}{(1 + x)^2 + y^2}.$

Проверка: при $z = i$ получаем $w = \frac{-1 + 1}{1 - i} = 0$, и формулы дают $\frac{1 - 1}{2} = 0$ и $\frac{0 + 0 + 1 - 1}{2} = 0$.

8. Множества точек

Изобразить множества точек $z = x + iy$, заданные условиями ниже. Словарь «условие — фигура» — в практике 2.

8.1. Задача 12: прямая

Условие. $\operatorname{Im}\bigl((3 + 2i)(\bar z - i)\bigr) = 5$.

Решение. $\bar z - i = x - i(y + 1)$, и

$(3 + 2i)\bigl(x - i(y + 1)\bigr) = 3x + 2(y + 1) + i\bigl(2x - 3(y + 1)\bigr).$

$\operatorname{Im} = 2x - 3y - 3 = 5$, то есть $2x - 3y = 8$, $y = \dfrac{2x - 8}{3}$.

Ответ. Прямая $y = \frac{2x - 8}{3}$: проходит через $(4, 0)$ и $\left(0, -\frac83\right)$. Проверка: при $z = 4$ получается $(3 + 2i)(4 - i) = 14 + 5i$, мнимая часть $5$.

8.2. Задача 13: окружность без точки

Условие. $\operatorname{Re}\dfrac{z - 1}{z + 1} = 0$.

Решение. При $z \ne -1$ домножаем на сопряжённое знаменателю:

$\frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy} = \frac{\bigl((x - 1) + iy\bigr)\bigl((x + 1) - iy\bigr)}{(x + 1)^2 + y^2}, \qquad \operatorname{Re} = \frac{x^2 + y^2 - 1}{(x + 1)^2 + y^2}.$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет: $x^2 + y^2 = 1$ и $z \ne -1$.

Ответ. Единичная окружность $|z| = 1$ без точки $z = -1$.

Геометрический смысл: $\frac{z - 1}{z + 1}$ чисто мнимое, когда векторы из точек $1$ и $-1$ в точку $z$ перпендикулярны, то есть отрезок $[-1, 1]$ виден из $z$ под прямым углом. Это окружность с диаметром $[-1, 1]$; точка $z = 1$ тоже входит — там дробь равна $0$.

8.3. Задача 14: кольцо

Условие. $2 < |(1 + i)\bar z - 2 + 6i| \le 4$.

Решение через координаты. $(1 + i)(x - iy) - 2 + 6i = (x + y - 2) + i(x - y + 6)$, и

$(x + y - 2)^2 + (x - y + 6)^2 = 2x^2 + 2y^2 + 8x - 16y + 40 = 2\bigl((x + 2)^2 + (y - 4)^2\bigr).$

Условие $4 < |w|^2 \le 16$ превращается в $2 < (x + 2)^2 + (y - 4)^2 \le 8$.

Решение через модуль. Выносим множитель при $\bar z$:

$(1 + i)\bar z - 2 + 6i = (1 + i)\left(\bar z + \frac{-2 + 6i}{1 + i}\right) = (1 + i)(\bar z + 2 + 4i),$

так как $\frac{-2 + 6i}{1 + i} = \frac{(-2 + 6i)(1 - i)}{2} = \frac{4 + 8i}{2} = 2 + 4i$. Модуль произведения — произведение модулей, $|1 + i| = \sqrt2$, а $|\bar z + 2 + 4i| = |z + 2 - 4i|$, потому что сопряжение не меняет модуль:

$2 < \sqrt2\,|z - (-2 + 4i)| \le 4 \iff \sqrt2 < |z - (-2 + 4i)| \le 2\sqrt2.$

Ответ. Кольцо с центром $-2 + 4i$: внутренняя окружность радиуса $\sqrt2$ не входит, внешняя радиуса $2\sqrt2$ входит.

8.4. Задача 15: система

Условие.

$\begin{cases} |\bar z + 2 - 3i| < 7, \\ |\operatorname{Im}(z + i)| > 3. \end{cases}$

Решение. Первое: $|\bar z + 2 - 3i| = |\overline{z + 2 + 3i}| = |z - (-2 - 3i)| < 7$ — открытый круг радиуса $7$ с центром $-2 - 3i$. По вертикали он занимает $-10 < y < 4$.

Второе: $\operatorname{Im}(z + i) = y + 1$, и $|y + 1| > 3 \iff y > 2$ или $y < -4$ — плоскость без горизонтальной полосы $-4 \le y \le 2$.

Ответ. Круг $|z + 2 + 3i| < 7$ без полосы $-4 \le \operatorname{Im} z \le 2$: две части — верхний сегмент $2 < y < 4$ и нижняя часть круга $y < -4$. Все границы не входят.

Частые ошибки

• Забывать сопряжённый корень: если $2 - 3i$ — корень многочлена с вещественными коэффициентами, то $2 + 3i$ тоже, и делить надо сразу на $z^2 - 4z + 13$.
• Писать трёхчлен пары с неверным знаком: $(z - z_i)(z - \bar z_i) = z^2 - 2z\operatorname{Re} z_i + |z_i|^2$, со знаком минус перед средним членом.
• Оставлять посторонний корень прогрессии: у $\frac{z^5 + 1}{z + 1}$ корень $z = -1$ не подходит, у $\frac{z^{11} - 1}{z - 1}$ — корень $z = 1$.
• Терять кратность при замене $t = z^2$: двойной корень по $t$ даёт двойные корни по $z$.
• Проверять делимость на $x^2 + 1$ только в точке $i$: нужны оба корня, $i$ и $-i$ (для вещественного многочлена второй следует из первого, но это надо сказать).
• Путать направление поворота: умножение на $i$ поворачивает против часовой стрелки, на $-i$ — по часовой.
• В множествах с дробью не исключать точку, где знаменатель обращается в ноль.
• Забывать, что $|\bar z - c| = |z - \bar c|$: центр круга для $|\bar z + 2 - 3i|$ — точка $-2 - 3i$, а не $-2 + 3i$.
• Выносить множитель из-под модуля без модуля: $|(1 + i)u| = \sqrt2\,|u|$, а не $(1 + i)|u|$.

Мини-тренажёр

1. Известно, что $1 + i$ — корень $z^4 - 2z^3 + 3z^2 - 2z + 2$. Разложите многочлен над $\mathbb{R}$ и над $\mathbb{C}$.
2. Разложите $z^3 + z^2 + z + 1$ через сумму прогрессии.
3. Составьте многочлен со старшим коэффициентом $1$ и вещественными коэффициентами наименьшей степени, у которого $1$ — корень кратности $2$, а $i$ — простой корень.
4. Делится ли $x^6 - 1$ на $x^2 + x + 1$? Проверьте через корни делителя.
5. Поверните $1 + 2i$ на $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки.
6. Найдите $\operatorname{Re} w$ и $\operatorname{Im} w$ для $w = \dfrac{z}{\bar z}$.
7. Изобразите множество $\operatorname{Im}\bigl((1 - i)z\bigr) = 2$.
8. Изобразите множество $1 < |2\bar z - 4i| \le 6$.

Ответы

1. Пара $1 \pm i$ даёт $z^2 - 2z + 2$. Подбор: $(z^2 - 2z + 2)(z^2 + pz + q)$, при $z^3$: $p - 2 = -2$, $p = 0$; свободный член $2q = 2$, $q = 1$. Над $\mathbb{R}$: $(z^2 - 2z + 2)(z^2 + 1)$, над $\mathbb{C}$: $(z - 1 - i)(z - 1 + i)(z - i)(z + i)$.
2. $\frac{z^4 - 1}{z - 1}$ при $z \ne 1$, корни $z^4 = 1$ без единицы: $-1, i, -i$. Ответ: $(z + 1)(z - i)(z + i) = (z + 1)(z^2 + 1)$.
3. С $i$ обязательно корень $-i$: $(z - 1)^2(z^2 + 1) = z^4 - 2z^3 + 2z^2 - 2z + 1$.
4. Корни $x^2 + x + 1$ — $\omega = e^{2\pi i/3}$ и $\bar\omega$, различные. $\omega^3 = 1$, поэтому $\omega^6 - 1 = 0$, и так же для $\bar\omega$. Делится: $x^6 - 1 = (x^2 + x + 1)(x^4 - x^3 + x - 1)$.
5. $i(1 + 2i) = -2 + i$.
6. $\frac{z}{\bar z} = \frac{z^2}{|z|^2}$: $\operatorname{Re} w = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$, $\operatorname{Im} w = \frac{2xy}{x^2 + y^2}$, $z \ne 0$.
7. $(1 - i)(x + iy) = (x + y) + i(y - x)$, условие $y - x = 2$ — прямая $y = x + 2$.
8. $|2\bar z - 4i| = 2|\bar z - 2i| = 2|z + 2i|$, условие $\frac12 < |z + 2i| \le 3$ — кольцо с центром $-2i$, внутренняя окружность радиуса $\frac12$ не входит, внешняя радиуса $3$ входит.

Шпаргалка