Практика 2. Комплексные числа и типовой расчёт 2.1.1

Комплексные числа — первое поле после $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$, с которым мы работаем всерьёз: в лекции 1 $\mathbb{C}$ уже упоминалось как пример поля. Здесь собрана вся теория, которая нужна для типового расчёта 2.1.1, и подробно разобраны оба выданных варианта. Задачи в остальных вариантах те же самые, отличаются только числа, поэтому каждая задача разобрана как шаблон: что делать и на чём обычно ошибаются.

1. Алгебраическая форма и степени мнимой единицы

Определение 1. Комплексное число — выражение вида $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$, а $i$ — мнимая единица, для которой $i^2 = -1$. Число $x = \operatorname{Re} z$ называется действительной частью, $y = \operatorname{Im} z$ — мнимой частью. Множество всех комплексных чисел обозначается $\mathbb{C}$.

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Складывают и умножают их как многочлены от $i$, заменяя $i^2$ на $-1$:

$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd\,i^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.$

С этими операциями $\mathbb{C}$ — поле: все десять аксиом из лекции 1 выполняются, а обратный к ненулевому числу строится в разделе 2.

1.1. Степени мнимой единицы

Так как $i^4 = (i^2)^2 = 1$, степени $i$ повторяются с периодом $4$:

Чтобы вычислить $i^n$, достаточно найти остаток от деления $n$ на $4$. Например, $i^{38}$: $38 = 4 \cdot 9 + 2$, поэтому $i^{38} = i^2 = -1$. Аналогично $i^{37} = i$, $i^{44} = 1$, $i^{71} = i^3 = -i$.

2. Сопряжённое число и деление

Определение 2. Число $\bar z = x - iy$ называется сопряжённым к $z = x + iy$.

Главное свойство сопряжённого: произведение $z \bar z$ всегда действительно и неотрицательно:

$z \bar z = (x + iy)(x - iy) = x^2 - i^2 y^2 = x^2 + y^2.$

Отсюда рецепт деления: чтобы вычислить $\dfrac{a + bi}{c + di}$, домножаем числитель и знаменатель на $c - di$. Знаменатель становится действительным числом $c^2 + d^2$, а числитель раскрывается как обычное произведение:

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}.$

В частности, обратный элемент $z^{-1} = \dfrac{\bar z}{x^2 + y^2}$ существует для любого $z \ne 0$ — это и делает $\mathbb{C}$ полем.

Полезные свойства сопряжения: $\overline{z_1 + z_2} = \bar z_1 + \bar z_2$, $\overline{z_1 z_2} = \bar z_1 \bar z_2$, а $z = \bar z$ тогда и только тогда, когда $z$ действительно.

2.1. Задача 1: дробь со степенями i

Задача (вариант 1). Вычислить $\dfrac{2i^{38} + i^{37}}{6i^{44} + 4i^{71}}$.

Решение. Сворачиваем степени: $i^{38} = -1$, $i^{37} = i$, $i^{44} = 1$, $i^{71} = -i$. Дробь превращается в

$\frac{-2 + i}{6 - 4i}.$

Домножаем на сопряжённое к знаменателю $6 + 4i$; знаменатель равен $6^2 + 4^2 = 52$:

$\frac{(-2 + i)(6 + 4i)}{52} = \frac{-12 - 8i + 6i + 4i^2}{52} = \frac{-16 - 2i}{52} = -\frac{4}{13} - \frac{1}{26}i.$

Ответ: $-\dfrac{4}{13} - \dfrac{1}{26}i$.

3. Системы линейных уравнений над полем C

Поскольку $\mathbb{C}$ — поле, все приёмы решения линейных систем работают без изменений: вычитание уравнений, подстановка, правило Крамера. Единственная сложность в том, что коэффициенты комплексные и каждое деление — это домножение на сопряжённое.

3.1. Задача 2: система двух уравнений

Задача (вариант 1). Решить систему

$\begin{cases} z_1 + (-4 - 4i) z_2 = -8 - 13i, \\ z_1 + (2 - i) z_2 = 1 - i. \end{cases}$

Решение. Коэффициенты при $z_1$ одинаковы, поэтому вычитаем второе уравнение из первого:

$\bigl[(-4 - 4i) - (2 - i)\bigr] z_2 = (-8 - 13i) - (1 - i), \qquad (-6 - 3i) z_2 = -9 - 12i.$

Делим, домножая на сопряжённое $-6 + 3i$; знаменатель $36 + 9 = 45$:

$z_2 = \frac{(-9 - 12i)(-6 + 3i)}{45} = \frac{54 - 27i + 72i - 36i^2}{45} = \frac{90 + 45i}{45} = 2 + i.$

Подставляем во второе уравнение. Здесь $(2 - i)(2 + i) = 4 - i^2 = 5$, поэтому $z_1 + 5 = 1 - i$ и $z_1 = -4 - i$.

Ответ: $z_1 = -4 - i$, $z_2 = 2 + i$.

Проверка по первому уравнению: $(-4 - i) + (-4 - 4i)(2 + i) = (-4 - i) + (-8 - 4i - 8i - 4i^2) = (-4 - i) + (-4 - 12i) = -8 - 13i$. Верно.

4. Модуль, аргумент и геометрия комплексной плоскости

Число $z = x + iy$ изображается точкой $(x, y)$ или вектором из начала координат в эту точку. Горизонтальная ось — действительная ($\operatorname{Re} z$), вертикальная — мнимая ($\operatorname{Im} z$).

Определение 3. Модуль числа $z = x + iy$ — длина этого вектора: $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. В частности, $|z|^2 = z \bar z$.

Определение 4. Аргумент числа $z \ne 0$ — угол $\varphi$ между положительным направлением действительной оси и вектором $z$, отсчитываемый против часовой стрелки. Он определён с точностью до $2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; обычно выбирают значение из $[0, 2\pi)$ или из $(-\pi, \pi]$.

Модуль и аргумент удобно находить по схеме: $|z|$ считается по формуле, а для угла сначала определяем четверть по знакам $x$ и $y$, затем находим острый угол по $\left|\tfrac{y}{x}\right|$ и переносим его в нужную четверть.

Например, для $z = -4 + 4\sqrt 3\, i$ имеем $|z| = \sqrt{16 + 48} = 8$; точка $(-4, 4\sqrt 3)$ лежит во второй четверти, $\left|\tfrac{y}{x}\right| = \sqrt 3$, острый угол $\tfrac{\pi}{3}$, значит $\varphi = \pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}$.

4.1. Геометрические места точек

Разность $z - z_0$ — вектор от точки $z_0$ к точке $z$, поэтому $|z - z_0|$ — расстояние между ними, а $\arg(z - z_0)$ — направление из $z_0$ на $z$. Отсюда:

Если под модулем стоит не $z - z_0$, а что-то вроде $-iz + 5 - 5i$ или $i\bar z - 2 - 3i$, подставляем $z = x + iy$, раскрываем скобки, собираем действительную и мнимую части и считаем модуль напрямую. Тогда центр окружности читается из получившегося выражения $\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$.

4.2. Задача 3: кольцо и сектор

Задача (вариант 1). Изобразить множество точек, удовлетворяющих условиям

$3 \le |-iz + 5 - 5i| \le 8, \qquad -\frac{\pi}{3} \le \arg(z + 2 - i) \le \frac{4\pi}{3}.$

Решение. Пусть $z = x + iy$. Тогда $-iz = -i(x + iy) = -ix - i^2 y = y - ix$ и

$-iz + 5 - 5i = (y + 5) + i(-x - 5), \qquad |-iz + 5 - 5i| = \sqrt{(y + 5)^2 + (x + 5)^2}.$

Это расстояние от точки $(x, y)$ до точки $C = (-5, -5)$. Первое условие задаёт кольцо с центром $C$, внутренним радиусом $3$ и внешним радиусом $8$.

Второе условие: $z + 2 - i = z - (-2 + i)$, значит вершина сектора — точка $A = (-2, 1)$, а границы — лучи из $A$ под углами $-\tfrac{\pi}{3}$ и $\tfrac{4\pi}{3}$. Обходим от $-\tfrac{\pi}{3}$ против часовой стрелки до $\tfrac{4\pi}{3}$, то есть на $\tfrac{5\pi}{3}$: сектор занимает всю плоскость, кроме «клина» в $60^\circ$ между направлениями $\tfrac{4\pi}{3}$ и $\tfrac{5\pi}{3}$, который смотрит из $A$ вниз.

Искомое множество — пересечение кольца и сектора: кольцо без узкого клина под точкой $A$.

Задача (вариант 2). Изобразить множество: $1 \le |i\bar z - 2 - 3i| \le 5$, $-\tfrac{\pi}{6} \le \arg(z + 5 + 6i) \le \tfrac{\pi}{3}$.

Здесь под модулем стоит сопряжённое: $i \bar z = i(x - iy) = y + ix$, поэтому $i\bar z - 2 - 3i = (y - 2) + i(x - 3)$ и модуль равен $\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2}$. Кольцо с центром $C = (3, 2)$, радиусы $1$ и $5$. Сектор: вершина $A = (-5, -6)$, лучи под углами $-\tfrac{\pi}{6}$ и $\tfrac{\pi}{3}$, раствор $90^\circ$. Ответ — часть кольца, попавшая в этот сектор.

5. Тригонометрическая и показательная формы

Определение 5. Если $r = |z|$ и $\varphi = \arg z$, то $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ — тригонометрическая форма, а $z = re^{i\varphi}$ — показательная (экспоненциальная) форма. Связь между ними — формула Эйлера $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$.

В показательной форме умножение и деление сводятся к действиям с модулями и аргументами:

$r_1 e^{i\varphi_1} \cdot r_2 e^{i\varphi_2} = r_1 r_2\, e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}, \qquad \frac{r_1 e^{i\varphi_1}}{r_2 e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2}\, e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}.$

Теорема 1 (формула Муавра). Для любого $n \in \mathbb{Z}$

$\bigl(r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\bigr)^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi) = r^n e^{in\varphi}.$

Поэтому большие степени считают так: перевести число в показательную форму, возвести модуль в степень, умножить аргумент на показатель, привести угол по модулю $2\pi$ и вернуться в алгебраическую форму.

5.1. Задача 4: модуль, аргумент и большая степень

Задача (вариант 1). Для числа $z = -4 + 4\sqrt 3\, i$ найти модуль, аргумент, показательную форму и вычислить

$(-4 + 4\sqrt 3\, i)^{59} \cdot 8^{-56} \cdot e^{-\frac{153\pi i}{6}}.$

Решение. Модуль и аргумент уже найдены в разделе 4: $|z| = 8$, $\arg z = \tfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, поэтому $z = 8e^{i \cdot 2\pi/3}$.

Подставляем в выражение:

$\bigl(8e^{i \cdot 2\pi/3}\bigr)^{59} \cdot 8^{-56} \cdot e^{-153\pi i/6} = 8^{59 - 56} \cdot e^{i\left(\frac{118\pi}{3} - \frac{153\pi}{6}\right)} = 8^3 e^{i \cdot 83\pi/6}.$

Приводим угол по модулю $2\pi = \tfrac{12\pi}{6}$: $83 = 12 \cdot 6 + 11$, значит $\tfrac{83\pi}{6} \equiv \tfrac{11\pi}{6}$. Осталось вернуться в алгебраическую форму:

$512\left(\cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}\right) = 512\left(\frac{\sqrt 3}{2} - \frac{1}{2}i\right) = 256\sqrt 3 - 256i.$

Ответ: $|z| = 8$, $\arg z = \tfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $z = 8e^{i \cdot 2\pi/3}$, значение выражения $256\sqrt 3 - 256i$.

В варианте 2 число $z = -3 - 3\sqrt 3\, i$ лежит в третьей четверти: $|z| = 6$, $\arg z = \pi + \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{4\pi}{3}$ (то же, что $-\tfrac{2\pi}{3}$). Схема вычисления полностью повторяется, разбор вынесен в мини-тренажёр.

6. Квадратные уравнения и корень из комплексного числа

Для уравнения $z^2 + bz + c = 0$ с комплексными $b, c$ действует обычная формула

$z = \frac{-b \pm \sqrt D}{2}, \qquad D = b^2 - 4c,$

но $\sqrt D$ теперь — комплексное число, и его нужно найти отдельно. Ищем $\sqrt{u + vi}$ в виде $p + qi$ с действительными $p, q$. Раскрывая $(p + qi)^2 = p^2 - q^2 + 2pq\,i$, получаем систему

$\begin{cases} p^2 - q^2 = u, \\ 2pq = v. \end{cases}$

Если решение не угадывается, добавьте третье уравнение: $p^2 + q^2 = |D| = \sqrt{u^2 + v^2}$. Тогда $p^2$ и $q^2$ находятся как полусумма и полуразность, а знак $q$ выбирается из условия $2pq = v$.

6.1. Задача 5: два разбора

Задача (вариант 1). Решить $z^2 + (-11 - 5i)z + 22 + 26i = 0$.

Решение. Здесь $b = -11 - 5i$, $c = 22 + 26i$. Считаем $b^2 = (-11 - 5i)^2 = 121 + 110i + 25i^2 = 96 + 110i$, тогда

$D = 96 + 110i - 4(22 + 26i) = 96 + 110i - 88 - 104i = 8 + 6i.$

Система $p^2 - q^2 = 8$, $2pq = 6$ угадывается: $p = 3$, $q = 1$ ($9 - 1 = 8$, $2 \cdot 3 \cdot 1 = 6$). Значит $\sqrt D = 3 + i$ и

$z = \frac{11 + 5i \pm (3 + i)}{2}, \qquad z_1 = \frac{14 + 6i}{2} = 7 + 3i, \qquad z_2 = \frac{8 + 4i}{2} = 4 + 2i.$

Ответ: $z = 7 + 3i$ или $z = 4 + 2i$.

Задача (вариант 2). Решить $z^2 + (-3 + 6i)z - 26 = 0$.

Решение. $b = -3 + 6i$, $c = -26$. Квадрат: $(-3 + 6i)^2 = 9 - 36i + 36i^2 = -27 - 36i$, поэтому $D = -27 - 36i + 104 = 77 - 36i$.

Система $p^2 - q^2 = 77$, $2pq = -36$ так просто не угадывается, поэтому используем модуль: $|D| = \sqrt{77^2 + 36^2} = \sqrt{5929 + 1296} = \sqrt{7225} = 85$. Тогда

$p^2 = \frac{85 + 77}{2} = 81, \qquad q^2 = \frac{85 - 77}{2} = 4.$

Так как $2pq = -36 < 0$, знаки у $p$ и $q$ разные: $p = 9$, $q = -2$, то есть $\sqrt D = 9 - 2i$. Проверка: $(9 - 2i)^2 = 81 - 36i + 4i^2 = 77 - 36i$.

$z = \frac{3 - 6i \pm (9 - 2i)}{2}, \qquad z_1 = 6 - 4i, \qquad z_2 = -3 - 2i.$

Ответ: $z = 6 - 4i$ или $z = -3 - 2i$.

7. Корни n-й степени

Теорема 2. Пусть $w = re^{i\varphi} \ne 0$. Уравнение $z^n = w$ имеет ровно $n$ различных решений:

$z_k = \sqrt[n]{r}\,\Bigl(\cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\Bigr) = \sqrt[n]{r}\, e^{i\frac{\varphi + 2\pi k}{n}}, \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1.$

Доказательство. Ищем $z = \rho e^{i\theta}$. По формуле Муавра $z^n = \rho^n e^{in\theta}$, и это равно $re^{i\varphi}$ тогда и только тогда, когда $\rho^n = r$ и $n\theta = \varphi + 2\pi k$ для некоторого целого $k$: аргумент определён с точностью до $2\pi k$. Отсюда $\rho = \sqrt[n]{r}$ и $\theta = \frac{\varphi + 2\pi k}{n}$. При $k = 0, \dots, n - 1$ получаются $n$ разных углов, а при $k = n$ угол увеличивается на $2\pi$ и корень повторяет $z_0$. $\blacksquare$

Геометрически все $n$ корней лежат на окружности радиуса $\sqrt[n]{r}$ и делят её на $n$ равных дуг: это вершины правильного $n$-угольника. Первая вершина стоит под углом $\tfrac{\varphi}{n}$, следующие получаются поворотом на $\tfrac{2\pi}{n}$.

7.1. Задача 6: уравнение седьмой степени

Задача (вариант 1). Решить уравнение $z^7 = -3 + 3\sqrt 3\, i$ и записать корни в тригонометрической форме.

Решение. Переводим правую часть в тригонометрическую форму: $r = \sqrt{9 + 27} = 6$; точка $(-3, 3\sqrt 3)$ во второй четверти, $\left|\tfrac{y}{x}\right| = \sqrt 3$, поэтому $\varphi = \tfrac{2\pi}{3}$. Итак, $-3 + 3\sqrt 3\, i = 6\left(\cos\tfrac{2\pi}{3} + i\sin\tfrac{2\pi}{3}\right)$.

По теореме 2

$z_k = \sqrt[7]{6}\,\Bigl(\cos\frac{\frac{2\pi}{3} + 2\pi k}{7} + i\sin\frac{\frac{2\pi}{3} + 2\pi k}{7}\Bigr) = \sqrt[7]{6}\,\Bigl(\cos\frac{(2 + 6k)\pi}{21} + i\sin\frac{(2 + 6k)\pi}{21}\Bigr), \qquad k = 0, \dots, 6.$

Ответ: семь чисел $z_k$ выше; все они лежат на окружности радиуса $\sqrt[7]{6}$ и образуют правильный семиугольник.

Частые ошибки

• Степень $i$ по последней цифре. Период равен $4$: $i^{71} = i^3 = -i$, потому что $71 = 4 \cdot 17 + 3$.
• Забытое сопряжённое. Дробь $\tfrac{-2 + i}{6 - 4i}$ нельзя «поделить почленно». Только домножение на $6 + 4i$ делает знаменатель действительным.
• Аргумент через арктангенс без учёта четверти. Для $-4 + 4\sqrt 3\, i$ ответ $-\tfrac{\pi}{3}$ неверен, правильный — $\tfrac{2\pi}{3}$.
• Знак $i^2$ при раскрытии скобок. $(-11 - 5i)^2 = 121 + 110i + 25i^2 = 96 + 110i$, а не $146 + 110i$.
• Потерянное $2\pi k$. Аргумент задаётся с точностью до $2\pi k$; именно из-за этого у $z^n = w$ ровно $n$ корней.
• Угол не приведён по модулю $2\pi$. Ответ $512 e^{i \cdot 83\pi/6}$ формально верен, но в алгебраическую форму его переводят через $\tfrac{11\pi}{6}$.
• Центр окружности со знаком наоборот. Условие $|z + 2 - i|$ означает расстояние до точки $-2 + i$, а не до $2 - i$. Когда под модулем стоит $-iz$ или $i\bar z$, центр вообще нужно вычислять через $x + iy$.
• Неверное направление обхода сектора. От $\alpha$ к $\beta$ идут против часовой стрелки; для $-\tfrac{\pi}{3} \le \arg \le \tfrac{4\pi}{3}$ это $300^\circ$, а не $60^\circ$.

Мини-тренажёр

Задачи 1–6 — это вариант 2 типового расчёта, остальные — для закрепления. Сначала решите сами, потом откройте ответ.

1. Вычислите $\dfrac{2i^{14} + 3i^{29}}{7i^{36} + 3i^{23}}$.
2. Решите систему $z_1 + (4 + 4i) z_2 = -28 - 2i$, $z_1 + (-4 - 2i) z_2 = 28 - 10i$.
3. Опишите множество $1 \le |i\bar z - 2 - 3i| \le 5$, $-\tfrac{\pi}{6} \le \arg(z + 5 + 6i) \le \tfrac{\pi}{3}$.
4. Для $z = -3 - 3\sqrt 3\, i$ найдите $|z|$, $\arg z$, показательную форму и значение $(-3 - 3\sqrt 3\, i)^{47} \cdot 6^{-43} \cdot e^{-227\pi i/6}$.
5. Решите $z^2 + (-3 + 6i)z - 26 = 0$.
6. Решите $z^7 = -3\sqrt 2 - 3\sqrt 2\, i$ и запишите корни в тригонометрической форме.
7. Чему равно $i^{2026}$?
8. Вычислите $(1 + i)^{10}$.
9. Найдите все кубические корни из $-8$ в алгебраической форме.
10. Найдите $\sqrt{-5 + 12i}$.

Ответы

1. $i^{14} = -1$, $i^{29} = i$, $i^{36} = 1$, $i^{23} = -i$, дробь равна $\dfrac{-2 + 3i}{7 - 3i} = \dfrac{(-2 + 3i)(7 + 3i)}{58} = \dfrac{-23 + 15i}{58}$.
2. Вычитаем: $(8 + 6i) z_2 = -56 + 8i$, откуда $z_2 = \dfrac{(-56 + 8i)(8 - 6i)}{100} = \dfrac{-400 + 400i}{100} = -4 + 4i$. Так как $(4 + 4i)(-4 + 4i) = -32$, из первого уравнения $z_1 = -28 - 2i + 32 = 4 - 2i$.
3. Кольцо с центром $(3, 2)$ и радиусами $1$ и $5$, пересечённое с сектором с вершиной $(-5, -6)$ между лучами под углами $-\tfrac{\pi}{6}$ и $\tfrac{\pi}{3}$ (см. рисунок в разделе 4).
4. $|z| = 6$, $\arg z = \tfrac{4\pi}{3} + 2\pi k$, $z = 6e^{i \cdot 4\pi/3}$. Выражение: $6^{47 - 43} e^{i(188\pi/3 - 227\pi/6)} = 1296\, e^{i \cdot 149\pi/6}$; $149 = 12 \cdot 12 + 5$, угол $\tfrac{5\pi}{6}$, ответ $1296\left(-\tfrac{\sqrt 3}{2} + \tfrac{1}{2}i\right) = -648\sqrt 3 + 648i$.
5. $D = 77 - 36i$, $\sqrt D = 9 - 2i$, корни $6 - 4i$ и $-3 - 2i$ (разбор в разделе 6).
6. $r = \sqrt{18 + 18} = 6$, точка в третьей четверти на биссектрисе, $\varphi = \tfrac{5\pi}{4}$. Корни $z_k = \sqrt[7]{6}\left(\cos\tfrac{(5 + 8k)\pi}{28} + i\sin\tfrac{(5 + 8k)\pi}{28}\right)$, $k = 0, \dots, 6$.
7. $2026 = 4 \cdot 506 + 2$, поэтому $i^{2026} = -1$.
8. $1 + i = \sqrt 2\, e^{i\pi/4}$, значит $(1 + i)^{10} = 2^5 e^{i \cdot 10\pi/4} = 32 e^{i \cdot 5\pi/2} = 32 e^{i\pi/2} = 32i$.
9. $-8 = 8e^{i\pi}$, корни $2e^{i(\pi + 2\pi k)/3}$: $1 + \sqrt 3\, i$, $-2$, $1 - \sqrt 3\, i$.
10. Система $p^2 - q^2 = -5$, $2pq = 12$, $p^2 + q^2 = 13$: $p^2 = 4$, $q^2 = 9$, знаки одинаковые, $\sqrt{-5 + 12i} = \pm(2 + 3i)$.

Шпаргалка