Лекция 9. Линейная зависимость, подпространства, линейная оболочка

В лекции 8 появилось линейное пространство $V$ над полем $K$ и его аксиомы. Теперь изучаем, как векторы выражаются друг через друга. Из линейных комбинаций вырастают два ключевых понятия: линейно независимая система (в ней нет «лишних» векторов) и полная система (через неё выражается всё). Лемма Штейница связывает их неравенством $k \le m$, и на этом неравенстве дальше держатся понятия базиса и размерности.

1. Линейная комбинация

Определение 1. Пусть $\{x_1, x_2, \dots, x_k\} \subset V$ — векторы и $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k \in K$ — числа. Линейной комбинацией (ЛК) векторов $x_1, \dots, x_k$ называется вектор

$\sum_{i=1}^{k} \alpha_i x_i = \alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \dots + \alpha_k x_k,$

а числа $\alpha_i$ — коэффициентами линейной комбинации.

Определение 2. Линейная комбинация называется тривиальной, если все её коэффициенты нулевые: $\alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_k = 0$. Иначе — нетривиальной: хотя бы один $\alpha_i \ne 0$.

Тривиальная комбинация всегда равна нулевому вектору:

$\sum_{i=1}^{k} 0 \cdot x_i = \theta,$

потому что $0 \cdot x = \theta$ для любого $x$ (утверждение 3 лекции 8). Вопрос, на котором строится вся лекция: может ли нулевой вектор получиться и нетривиальной комбинацией?

2. Линейная зависимость и независимость

2.1. Определения

Определение 3. Система векторов $\{x_1, x_2, \dots, x_k\} \subset V$ называется линейно независимой (ЛНЗ), если из равенства её линейной комбинации нулевому вектору следует, что эта комбинация тривиальна:

$\{x_1, \dots, x_k\} \text{ — ЛНЗ} \iff \Big(\sum_{i=1}^{k} \alpha_i x_i = \theta \Rightarrow \alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_k = 0\Big).$

Определение 4. Система векторов $\{x_1, x_2, \dots, x_k\} \subset V$ называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует её нетривиальная линейная комбинация, равная $\theta$:

$\{x_1, \dots, x_k\} \text{ — ЛЗ} \iff \exists\, \alpha_1, \dots, \alpha_k \in K,\ \text{не все равные } 0\colon\ \sum_{i=1}^{k} \alpha_i x_i = \theta.$

Определения 3 и 4 — отрицания друг друга: каждая система либо ЛЗ, либо ЛНЗ.

2.2. Критерий линейной зависимости

Теорема 1 (критерий линейной зависимости). Система $\{x_1, x_2, \dots, x_k\}$, $k \ge 2$, линейно зависима тогда и только тогда, когда один из её векторов является линейной комбинацией остальных.

Доказательство.

$(\Rightarrow)$ Система ЛЗ, значит, $\alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_k x_k = \theta$, причём существует $i$ с $\alpha_i \ne 0$. Перенесём остальные слагаемые вправо и разделим на $\alpha_i$ — это можно, потому что $K$ — поле:

$x_i = \frac{1}{\alpha_i}\Big(\sum_{j \ne i} (-\alpha_j) x_j\Big) = \sum_{j \ne i} \Big(-\frac{\alpha_j}{\alpha_i}\Big) x_j.$

В сумме нет $i$-го слагаемого, так что $x_i$ выражен через остальные векторы.

$(\Leftarrow)$ Не умаляя общности (н. у. о.), выражается первый вектор: $x_1 = \alpha_2 x_2 + \dots + \alpha_k x_k$. Тогда

$1 \cdot x_1 - \alpha_2 x_2 - \dots - \alpha_k x_k = \theta.$

Коэффициент при $x_1$ равен $1 \ne 0$, значит, комбинация нетривиальна и система ЛЗ. $\blacksquare$

Критерий не утверждает, что через остальные выражается каждый вектор. В системе $\{x, 2x, y\}$, где $x$ и $y$ не пропорциональны, $2x = 2 \cdot x + 0 \cdot y$, а $y$ через $x$ и $2x$ не выражается.

2.3. Пример

В $\mathbb{R}^2$ возьмём

$x_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}, \qquad x_2 = \begin{pmatrix} -6 \\ 12 \end{pmatrix}.$

Здесь $x_2 = -3x_1$: $-3 \cdot 2 = -6$, $-3 \cdot (-4) = 12$. Один вектор выражается через другой, поэтому по теореме 1 система $\{x_1, x_2\}$ ЛЗ. Нетривиальная комбинация, равная нулю, — $3x_1 + 1 \cdot x_2 = \theta$.

Для двух векторов это общее правило: $\{x_1, x_2\}$ ЛЗ тогда и только тогда, когда векторы пропорциональны. Например, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ЛНЗ: из $\alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \theta$ вторая координата даёт $\beta = 0$, а первая — $\alpha = 0$.

3. Свойства ЛЗ и ЛНЗ систем

Утверждение 1. Если система векторов содержит $\theta$, то она линейно зависима.

Доказательство. Пусть н. у. о. $x_1 = \theta$. Тогда

$1 \cdot \theta + 0 \cdot x_2 + \dots + 0 \cdot x_k = \theta,$

а коэффициенты $\alpha_1 = 1$, $\alpha_2 = \dots = \alpha_k = 0$ не все нулевые. Комбинация нетривиальна, система ЛЗ. $\blacksquare$

Утверждение 2 (свойство подсистемы). Если некоторая подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство. Пусть в системе $\{x_1, \dots, x_k, \dots, x_m\}$ н. у. о. ЛЗ подсистема $\{x_1, \dots, x_k\}$. Тогда есть нетривиальная комбинация $\alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_k x_k = \theta$. Допишем остальные векторы с нулевыми коэффициентами:

$\alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_k x_k + 0 \cdot x_{k+1} + \dots + 0 \cdot x_m = \theta.$

Среди $\alpha_1, \dots, \alpha_k$ есть ненулевой, поэтому и эта комбинация нетривиальна. $\blacksquare$

Утверждение 3 (свойство надсистемы). Если система линейно независима, то и любая её подсистема линейно независима.

Доказательство. Это контрапозиция утверждения 2: если бы какая-то подсистема была ЛЗ, то ЛЗ была бы и вся система. $\blacksquare$

Из утверждения 3 и утверждения 1 следует: в ЛНЗ системе нет нулевого вектора, и каждый её вектор сам по себе образует ЛНЗ систему. Это понадобится в лемме Штейница.

4. Линейное подпространство

4.1. Определение

Определение 5. Пусть $V$ — линейное пространство над полем $K$. Подмножество $L \subset V$ называется линейным подпространством $V$, если оно само является линейным пространством относительно операций $+$ и $\cdot$, заданных в $V$.

Тривиальные подпространства есть у любого $V$: само $V$ и $\{\theta\}$. В $\mathbb{R}^3$ подпространства — это ещё прямые и плоскости, проходящие через начало координат.

4.2. Критерий подпространства

Проверять все восемь аксиом не нужно: большинство из них $L$ получает «бесплатно» от $V$.

Теорема 2 (критерий подпространства). Непустое подмножество $L \subset V$ является линейным подпространством $V$ тогда и только тогда, когда

1. $\forall x, y \in L\colon\ x + y \in L$;
2. $\forall x \in L\ \forall \alpha \in K\colon\ \alpha x \in L$.

Доказательство.

$(\Rightarrow)$ Если $L$ — подпространство, то $L$ — линейное пространство, а операции в линейном пространстве по определению не выводят за его пределы. Значит, $L$ замкнуто относительно $+$ и умножения на число.

$(\Leftarrow)$ Пусть $L$ замкнуто относительно обеих операций, тогда это корректные операции на $L$. Проверим аксиомы.

• Коммутативность и ассоциативность сложения, нормировка $1 \cdot x = x$, ассоциативность умножения на число и обе дистрибутивности — тождества, которые верны для всех векторов $V$, а значит, и для векторов из $L \subset V$.
• Нулевой вектор: $L$ непусто, возьмём любой $x \in L$. По условию 2 вектор $0 \cdot x = \theta$ лежит в $L$.
• Противоположный: для $x \in L$ по условию 2 $(-1) \cdot x = -x \in L$.

Все восемь аксиом выполнены, $L$ — линейное пространство. $\blacksquare$

Условия 1 и 2 можно объединить в одно: $\alpha x + \beta y \in L$ для любых $x, y \in L$ и $\alpha, \beta \in K$, то есть $L$ замкнуто относительно линейных комбинаций.

5. Линейная оболочка

Определение 6. Линейной оболочкой (англ. span) системы векторов $\{x_1, \dots, x_k\}$ называется множество всех их возможных линейных комбинаций:

$\operatorname{span}(x_1, \dots, x_k) = \langle x_1, \dots, x_k \rangle = \Big\{\sum_{i=1}^{k} \alpha_i x_i \ \Big|\ \alpha_i \in K\Big\}.$

Теорема 3. Если $x_1, \dots, x_k \in V$, то $\langle x_1, \dots, x_k \rangle$ — линейное подпространство $V$.

На лекции теорема оставлена для самостоятельного доказательства. Оно проводится по критерию подпространства.

Доказательство. Оболочка непуста: в ней лежит $\theta = 0 \cdot x_1 + \dots + 0 \cdot x_k$. Пусть $x = \sum \alpha_i x_i$ и $y = \sum \beta_i x_i$ — два элемента оболочки, $\lambda \in K$. Тогда

$x + y = \sum_{i=1}^{k} (\alpha_i + \beta_i) x_i, \qquad \lambda x = \sum_{i=1}^{k} (\lambda \alpha_i) x_i,$

это снова линейные комбинации $x_1, \dots, x_k$ с коэффициентами из $K$. Оба условия теоремы 2 выполнены. $\blacksquare$

Оболочка — наименьшее подпространство, содержащее $x_1, \dots, x_k$: любое подпространство, содержащее эти векторы, замкнуто относительно линейных комбинаций и потому содержит всю оболочку.

Примеры в $\mathbb{R}^3$: оболочка одного ненулевого вектора — прямая через начало координат, оболочка двух непропорциональных — плоскость через начало координат, $\langle \theta \rangle = \{\theta\}$.

6. Полная система векторов

Определение 7. Система $\{x_1, \dots, x_k\} \subset V$ называется полной в $V$, если её линейная оболочка совпадает со всем пространством:

$\langle x_1, \dots, x_k \rangle = V.$

Иначе говоря, любой вектор $V$ выражается линейной комбинацией $x_1, \dots, x_k$.

Пример: в $\mathbb{R}^2$ система $\{(1, 0), (0, 1)\}$ полна, потому что $(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1)$. Система $\{(1, 0), (0, 1), (1, 1)\}$ тоже полна, но ЛЗ. А $\{(1, 0)\}$ ЛНЗ, но не полна: $(0, 1)$ через неё не выражается.

Полнота и независимость тянут в разные стороны. Добавление векторов сохраняет полноту, но может сломать независимость; удаление векторов сохраняет независимость (утверждение 3), но может сломать полноту.

7. Лемма Штейница о замене

Теорема 4 (о замене, лемма Штейница). Пусть $V$ — линейное пространство, $X = \{x_1, \dots, x_k\}$ — линейно независимая система, $Y = \{y_1, \dots, y_m\}$ — полная система в $V$. Тогда $k \le m$.

Идея: векторы $X$ по одному «вставляются» в $Y$ вместо векторов $Y$, и после каждой замены система остаётся полной. Если бы векторов $X$ было больше, чем $Y$, то $Y$ закончился бы раньше, и оставшийся вектор $X$ выразился бы через предыдущие.

Доказательство.

Шаг 1. $Y$ полна, поэтому $x_1 = \alpha_1 y_1 + \dots + \alpha_m y_m$. Вектор $x_1 \ne \theta$, потому что $X$ ЛНЗ (утверждения 1 и 3), значит, не все $\alpha_j$ нулевые. Н. у. о. $\alpha_1 \ne 0$, тогда

$y_1 = \frac{1}{\alpha_1}\big(x_1 - \alpha_2 y_2 - \dots - \alpha_m y_m\big).$

Заменим $y_1$ на $x_1$: система $Y^{(1)} = \{x_1, y_2, \dots, y_m\}$ тоже полная. Действительно, любой вектор $V$ выражается через $y_1, \dots, y_m$, а $y_1$ — через векторы $Y^{(1)}$; подставив, получим выражение через $Y^{(1)}$.

Шаг 2. $Y^{(1)}$ полна, поэтому $x_2 = \beta_1 x_1 + \beta_2 y_2 + \dots + \beta_m y_m$. Хотя бы один из $\beta_2, \dots, \beta_m$ ненулевой: иначе $x_2 = \beta_1 x_1$, и $X$ была бы ЛЗ по теореме 1. Н. у. о. $\beta_2 \ne 0$, тогда $y_2$ выражается через $x_1, x_2, y_3, \dots, y_m$, и, как на шаге 1, система

$Y^{(2)} = \{x_1, x_2, y_3, \dots, y_m\}$

полная.

Шаг $j$. Так же на каждом шаге в разложении $x_j$ по $Y^{(j-1)} = \{x_1, \dots, x_{j-1}, y_j, \dots, y_m\}$ хотя бы один коэффициент при оставшихся $y$ ненулевой — иначе $x_j$ выражался бы через $x_1, \dots, x_{j-1}$. Этот $y$ заменяем на $x_j$, полнота сохраняется.

Завершение. Предположим, что $k > m$, то есть $k \ge m + 1$. После $m$ шагов все $y$ заменены, и система $Y^{(m)} = \{x_1, \dots, x_m\}$ полная. Но в $X$ есть ещё вектор $x_{m+1}$, и по полноте

$x_{m+1} = \gamma_1 x_1 + \dots + \gamma_m x_m.$

По теореме 1 система $X$ линейно зависима — противоречие. Значит, $k \le m$. $\blacksquare$

Частые ошибки

• Читать «нетривиальная комбинация» как «все коэффициенты ненулевые». Достаточно одного ненулевого.
• Доказывать независимость, подобрав одну комбинацию с ненулевыми коэффициентами, которая не равна $\theta$. Нужно показать, что любая комбинация, равная $\theta$, тривиальна.
• Думать, что в ЛЗ системе каждый вектор выражается через остальные. Критерий гарантирует только один такой вектор.
• Считать, что попарная непропорциональность даёт независимость. Для трёх и более векторов это неверно.
• Проверять, что $L$ — подпространство, но забыть про непустоту или про $\theta \in L$. Прямая или плоскость не через начало координат — не подпространство.
• Путать полную систему и ЛНЗ: полная может быть зависимой, независимая может быть неполной.
• В лемме Штейница менять на $x_j$ вектор, коэффициент при котором равен нулю. Заменять можно только $y$ с ненулевым коэффициентом, иначе его не выразить.

Мини-тренажёр

1. Является ли система $\{(1, 2, 3), (2, 4, 6), (0, 1, 0)\}$ в $\mathbb{R}^3$ линейно зависимой? Если да, выразите один вектор через остальные.
2. Докажите, что $\{(1, 1), (1, -1)\}$ ЛНЗ в $\mathbb{R}^2$.
3. Векторы $x, y, z$ ЛНЗ. Будет ли ЛНЗ система $\{x, y\}$? А $\{x, y, z, x + y\}$?
4. Является ли подпространством $\mathbb{R}^2$ множество $\{(a, b) : ab = 0\}$?
5. Является ли подпространством $\mathbb{R}^3$ множество $\{(a, b, c) : a - 2b + c = 0\}$?
6. Опишите $\langle (1, 0, 0), (0, 1, 0) \rangle$ в $\mathbb{R}^3$. Полна ли эта система в $\mathbb{R}^3$?
7. Могут ли четыре вектора $\mathbb{R}^3$ быть линейно независимыми? Обоснуйте через лемму Штейница.

Ответы

1. Да: $(2, 4, 6) = 2 \cdot (1, 2, 3) + 0 \cdot (0, 1, 0)$. Нетривиальная комбинация: $2x_1 - x_2 + 0 \cdot x_3 = \theta$.
2. Из $\alpha(1, 1) + \beta(1, -1) = (0, 0)$ получаем $\alpha + \beta = 0$ и $\alpha - \beta = 0$. Складывая, $2\alpha = 0$, значит, $\alpha = 0$, и тогда $\beta = 0$.
3. $\{x, y\}$ — ЛНЗ как подсистема ЛНЗ системы (утверждение 3). $\{x, y, z, x + y\}$ — ЛЗ: $x + y - (x + y) = \theta$, или по теореме 1 — четвёртый вектор выражается через первые два.
4. Нет: $(1, 0)$ и $(0, 1)$ лежат в множестве, а их сумма $(1, 1)$ — нет, так как $1 \cdot 1 \ne 0$. Нарушено условие 1 критерия.
5. Да. Множество непусто ($\theta$ в нём), и если $a - 2b + c = 0$ и $a' - 2b' + c' = 0$, то для суммы и для $\lambda(a, b, c)$ равенство сохраняется. Это плоскость через начало координат.
6. Это плоскость $\{(a, b, 0)\}$ — все векторы с нулевой третьей координатой. Система не полна: $(0, 0, 1)$ через неё не выражается.
7. Нет. Система $\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}$ полна в $\mathbb{R}^3$: $(a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1)$. По лемме Штейница любая ЛНЗ система содержит не больше трёх векторов.

Шпаргалка