Лекция 9. Предел функции по Коши и по Гейне, функции Дирихле и Римана, локальные свойства пределов

Лекция 16 октября. В лекции 8 появились окрестности и предельные точки — теперь они работают: с их помощью определяется предел функции. Определений два — на языке $\varepsilon$–$\delta$ (по Коши) и на языке последовательностей (по Гейне), и они равносильны. Первое удобно, чтобы доказывать, что предел равен конкретному числу; второе — чтобы доказывать, что предела нет, и чтобы переносить на функции готовые теоремы о последовательностях.

1. Предел функции по Коши

Пусть $f\colon E\to\mathbb R$, где $E\subset\mathbb R$, и $x_0$ — предельная точка множества $E$.

Требование «предельная» существенно: только тогда в любой проколотой окрестности $x_0$ есть точки, где $f$ определена, и есть что проверять. Сама точка $x_0$ может не принадлежать $E$ — значение $f(x_0)$ в определении вообще не участвует.

Определение 1 (предел по Коши). Число $a$ называется пределом функции $f(x)$ при $x\to x_0$, если $\forall\varepsilon>0\ \ \exists\delta_\varepsilon>0:\quad \forall x\in E,\ \ 0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon\ \Rightarrow\ |f(x)-a|<\varepsilon.$ Обозначение: $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a$.

Индекс в $\delta_\varepsilon$ подчёркивает, что $\delta$ подбирается по $\varepsilon$: сначала задают точность, потом ищут, насколько близко к $x_0$ надо подойти.

1.1. На языке окрестностей

То же самое через окрестности из прошлой лекции: $\lim_{x\to x_0}f(x)=a\iff\forall\varepsilon>0\ \ \exists\delta>0:\quad x\in\overset{\circ}{U}_\delta(x_0)\ \Rightarrow\ f(x)\in U_\varepsilon(a).$

Неравенство $0<|x-x_0|<\delta$ — это ровно $x\in\overset{\circ}{U}_\delta(x_0)$, а $|f(x)-a|<\varepsilon$ — это $f(x)\in U_\varepsilon(a)$. Окрестность по $x$ проколотая, по $y$ — обычная.

Геометрически: какую бы узкую горизонтальную полосу вокруг $a$ ни задали, найдётся вертикальная полоса вокруг $x_0$, в которой график (кроме, может быть, точки над самим $x_0$) не выходит из горизонтальной.

2. Предел функции по Гейне

Определение 2 (предел по Гейне). $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a$, если для любой последовательности $\{x_n\}$ такой, что

1. $x_n\in E$ при всех $n$,
2. $x_n\ne x_0$ при всех $n$,
3. $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0$,

выполнено $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=a$.

Иначе говоря, по какой бы последовательности точек мы ни подходили к $x_0$, значения функции сходятся к одному и тому же числу $a$. Условие $x_n\ne x_0$ — аналог проколотой окрестности в определении Коши. Такие последовательности существуют как раз потому, что $x_0$ — предельная точка $E$ (критерий предельной точки, лекция 8).

3. Равносильность определений

Теорема 1. Определения предела по Коши и по Гейне равносильны.

Доказательство.

1. Коши $\Rightarrow$ Гейне. Пусть $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a$ по Коши. Возьмём $\varepsilon>0$; найдётся $\delta_\varepsilon>0$ такое, что $0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon\ \Rightarrow\ |f(x)-a|<\varepsilon.$ Возьмём любую последовательность $\{x_n\}\subset E$, $x_n\ne x_0$, $x_n\to x_0$. По определению предела последовательности для числа $\delta_\varepsilon$ найдётся $N$ такое, что $\forall n>N\quad|x_n-x_0|<\delta_\varepsilon,$ а так как $x_n\ne x_0$, то $0<|x_n-x_0|<\delta_\varepsilon$. По определению Коши тогда $|f(x_n)-a|<\varepsilon$ при всех $n>N$. Число $\varepsilon$ было произвольным, значит $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=a$.

2. Гейне $\Rightarrow$ Коши. От противного. Пусть $\lim f(x_n)=a$ для любой подходящей последовательности, но $a$ не предел по Коши. Запишем отрицание определения Коши: $\exists\varepsilon>0\ \ \forall\delta>0\ \ \exists x\in E:\quad 0<|x-x_0|<\delta,\ \text{ но }\ |f(x)-a|\ge\varepsilon.$ Будем брать $\delta_n=\dfrac1n$. Для каждого $n$ возьмём $x_n\in E$ с $0<|x_n-x_0|<\frac1n,\qquad |f(x_n)-a|\ge\varepsilon.$ Получилась последовательность с $x_n\ne x_0$ и $x_n\to x_0$ (по теореме о двух милиционерах). По Гейне $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=a$, то есть для этого $\varepsilon$ $\exists N:\ \forall n>N\quad|f(x_n)-a|<\varepsilon,$ а у нас $|f(x_n)-a|\ge\varepsilon$ при всех $n$. Противоречие. $\blacksquare$

Дополнение. Во второй части каждое $x_n$ выбирается из своего множества — это тот же приём «$\varepsilon=\frac1n$», что и в критерии предельной точки. Отрицание строится по правилу из дискретки: $\forall$ меняется на $\exists$ и обратно, а импликация «$A\Rightarrow B$» — на «$A$ и не $B$».

4. Примеры

4.1. Предел по определению Коши

Пример 1. Докажем по определению Коши, что $\lim_{x\to3}\left(x^2-2x\right)=3.$

Здесь $x_0=3$. Возьмём $\varepsilon>0$; нужно добиться $\left|x^2-2x-3\right|<\varepsilon$. Разложим на множители: $\left|x^2-2x-3\right|=|(x-3)(x+1)|=|x-3|\cdot|x+1|.$ Множитель $|x-3|$ мал сам, а $|x+1|$ нужно ограничить. Сначала потребуем $\delta\le1$; тогда при $|x-3|<\delta$ $|x+1|=|(x-3)+4|\le|x-3|+4<1+4=5.$ Значит $|f(x)-3|=|x-3|\cdot|x+1|<5\delta,$ и достаточно, чтобы $5\delta\le\varepsilon$. Оба требования выполнены при $\delta_\varepsilon=\min\left\{1;\ \frac\varepsilon5\right\}.$ Тогда $0<|x-3|<\delta_\varepsilon\Rightarrow|f(x)-3|<5\delta_\varepsilon\le\varepsilon$. $\blacksquare$

Дополнение. Проверка на числах: при $\varepsilon=0{,}1$ получаем $\delta=0{,}02$. Для $x=3{,}0199$ имеем $x^2-2x-3=0{,}0199\cdot4{,}0199\approx0{,}080<0{,}1$.

4.2. Функция sin(1/x) не имеет предела в нуле

Пример 2. Докажем, что у функции $f(x)=\sin\frac1x,\qquad D(f)=E=\mathbb R\setminus\{0\},$ нет предела при $x\to0$. Точка $0$ не входит в $E$, но предельная для $E$, так что вопрос о пределе имеет смысл.

Свойства функции:

1. $-1\le f(x)\le1$.
2. Корни: $x_k=\dfrac1{\pi k}$, $k\in\mathbb Z$, $k\ne0$.
3. $f(x_k)=1$ при $x_k=\dfrac1{\frac\pi2+2\pi k}$; $f(x_k)=-1$ при $x_k=\dfrac1{\frac{3\pi}2+2\pi k}$.

Чем ближе к нулю, тем гуще корни, максимумы и минимумы: функция бесконечно часто пробегает весь отрезок $[-1;1]$.

Отсутствие предела по Гейне. Возьмём $x_n=\frac1{\pi n},\quad n=1,2,\dots\qquad\Rightarrow\qquad\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}\sin(\pi n)=0,$ $y_n=\frac1{\frac\pi2+2\pi n}\qquad\Rightarrow\qquad\lim_{n\to\infty}f(y_n)=\lim_{n\to\infty}1=1.$ Обе последовательности лежат в $E$, отличны от нуля и стремятся к нулю, а пределы значений разные. Определение по Гейне нарушено — $\lim\limits_{x\to0}\sin\dfrac1x$ не существует.

4.3. Функция Дирихле

Пример 3. Функция Дирихле $\chi(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb Q,\\0,&x\notin\mathbb Q.\end{cases}$ Её «график» — две пунктирные прямые $y=1$ и $y=0$, которые нельзя нарисовать честно. Докажем, что $\chi$ не имеет предела ни в одной точке.

Пусть $x_0\in\mathbb R$. Возьмём последовательность рациональных чисел $x_n\in\mathbb Q$, $x_n\ne x_0$, $x_n\to x_0$. Тогда $\chi(x_n)=1$ и $\lim_{n\to\infty}\chi(x_n)=1.$ Возьмём последовательность иррациональных $y_n\notin\mathbb Q$, $y_n\ne x_0$, $y_n\to x_0$. Тогда $\chi(y_n)=0$ и $\lim_{n\to\infty}\chi(y_n)=0.$ Пределы разные, $\lim\limits_{n\to\infty}\chi(x_n)\ne\lim\limits_{n\to\infty}\chi(y_n)$, значит предел $\chi$ в точке $x_0$ не существует.

Дополнение. Такие последовательности есть в силу плотности: в любом интервале $\left(x_0;\,x_0+\frac1n\right)$ есть и рациональное, и иррациональное число — их и берём за $x_n$ и $y_n$. Например, при рациональном $x_0$ подходят $x_n=x_0+\frac1n$ и $y_n=x_0+\frac{\sqrt2}n$.

4.4. Функция Римана

Пример 4. Функция Римана (её ещё называют функцией «дождевых капель»; в англоязычной литературе — функция Тома) на $[0;1]$: $R(x)=\begin{cases}0,&x\notin\mathbb Q,\\[2pt]\dfrac1q,&x\in\mathbb Q,\ x=\dfrac pq\ \text{— несократимая дробь}.\end{cases}$ Например, $R\left(\frac12\right)=\frac12$, $R\left(\frac34\right)=\frac14$, $R(0{,}4)=R\left(\frac25\right)=\frac15$, $R\left(\frac{\sqrt2}2\right)=0$; $R(0)=R(1)=1$, так как $0=\frac01$, $1=\frac11$.

Утверждение 1. Для любой точки $x_0\in[0;1]$ $\lim_{x\to x_0}R(x)=0.$ Удивительно: функция положительна во всех рациональных точках, но предел везде нулевой — в том числе в самих рациональных точках, где $R(x_0)\ne0$.

На доске доказательство намечено по Гейне. Надо доказать: если рациональные $\dfrac{p_n}{q_n}\to x_0$ и $\dfrac{p_n}{q_n}\ne x_0$, то $q_n\to\infty,$ а значит $R\left(\frac{p_n}{q_n}\right)=\frac1{q_n}\to0$. Этот факт на лекции назван «теоремой о взрыве знаменателей»: дроби, приближающие число, но не равные ему, вынуждены иметь всё большие знаменатели. Его вариант для иррационального предела был упражнением в лекции 8 (мини-тренажёр, задача 6).

Дополнение: доказательство утверждения 1

Взрыв знаменателей. Пусть $r_n=\frac{p_n}{q_n}\to x_0$, $r_n\ne x_0$, но $q_n\not\to\infty$. Тогда есть число $Q$ и бесконечно много номеров с $q_n\le Q$. Дробей из $[0;1]$ со знаменателем не больше $Q$ конечное число; выбросим из них $x_0$ (если она среди них) и обозначим через $d>0$ расстояние от $x_0$ до ближайшей из оставшихся. Тогда для бесконечно многих $n$ выполнено $|r_n-x_0|\ge d$, что противоречит $r_n\to x_0$.

Условие $r_n\ne x_0$ здесь заменяет иррациональность из упражнения лекции 8: без него утверждение неверно ($r_n=\frac12\to\frac12$ при $q_n=2$).

Предел по Гейне. Пусть $x_n\in[0;1]$, $x_n\ne x_0$, $x_n\to x_0$. Для иррациональных $x_n$ имеем $R(x_n)=0$, для рациональных $R(x_n)=\frac1{q_n}$. Если бы $R(x_n)\not\to0$, нашлись бы $\varepsilon>0$ и бесконечно много номеров с $R(x_n)\ge\varepsilon$; все эти $x_n$ рациональны, и их знаменатели не больше $\frac1\varepsilon$ — противоречие со взрывом знаменателей для этой подпоследовательности.

То же по Коши. Возьмём $\varepsilon>0$. Точек $x\in[0;1]$ с $R(x)\ge\varepsilon$ — это дроби со знаменателем $q\le\frac1\varepsilon$ — конечное число (на схеме: точки над пунктиром). Пусть $\delta$ — расстояние от $x_0$ до ближайшей из них, кроме самой $x_0$. Тогда в $\overset{\circ}{U}_\delta(x_0)$ все значения $0\le R(x)<\varepsilon$, то есть $|R(x)-0|<\varepsilon$. $\blacksquare$

5. Локальные свойства пределов

Свойства называются локальными, потому что говорят о поведении функции лишь в некоторой (возможно, очень маленькой) окрестности точки $x_0$, а не на всём $E$.

5.1. Локальная ограниченность

Теорема 2 (локальная ограниченность). Пусть существует $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a$. Тогда существует проколотая окрестность $\overset{\circ}{U}_\delta(x_0)$, на которой $f(x)$ ограничена.

Доказательство (по Коши). Возьмём $\varepsilon=1>0$. Найдётся $\delta>0$ такое, что $0<|x-x_0|<\delta\ \Rightarrow\ |f(x)-a|<1.$ Рассмотрим $|f(x)|=|(f(x)-a)+a|\le|f(x)-a|+|a|<1+|a|.$ Значит $|f(x)|<M$, где $M=1+|a|$, для $x\in\overset{\circ}{U}_\delta(x_0)$. $\blacksquare$

Дополнение. Вместо $1$ подходит любое $\varepsilon>0$, получится $M=\varepsilon+|a|$. И ограниченность именно локальная: $f(x)=\frac1x$ имеет предел $1$ при $x\to1$, но на всей области определения не ограничена.

5.2. Сохранение знака

Теорема 3 (о сохранении знака). Если $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a>0$, то существует $\overset{\circ}{U}_\delta(x_0)$ такая, что $f(x)>0\quad\text{для } x\in\overset{\circ}{U}_\delta(x_0).$

Доказательство (по Коши). Возьмём $\varepsilon=\dfrac a2>0$. Найдётся $\delta>0$ такое, что при $0<|x-x_0|<\delta$ $|f(x)-a|<\frac a2\iff a-\frac a2<f(x)<a+\frac a2.$ Левое неравенство даёт $f(x)>\dfrac a2>0$. $\blacksquare$

На самом деле доказано больше: рядом с $x_0$ функция не просто положительна, а отделена от нуля числом $\frac a2$.

Дополнение. Аналогично при $a<0$ (берём $\varepsilon=\frac{|a|}2$): найдётся проколотая окрестность, где $f(x)<\frac a2<0$. При $a=0$ теорема ничего не говорит: $f(x)=x$ имеет предел $0$ при $x\to0$ и меняет знак в любой окрестности нуля.

5.3. Предельный переход в неравенстве

Теорема 4 (предельный переход в неравенстве). Пусть $f(x)\le g(x)$ для всех $x\in\overset{\circ}{U}(x_0)$ и существуют $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ и $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)$. Тогда $\lim_{x\to x_0}f(x)\le\lim_{x\to x_0}g(x).$

Доказательство (по Гейне). Возьмём любую последовательность $\{x_n\}$ с $x_n\to x_0$, $x_n\ne x_0$. Начиная с некоторого номера $x_n$ лежат в $\overset{\circ}{U}(x_0)$, и там $f(x_n)\le g(x_n)$. По теореме о предельном переходе в неравенстве для последовательностей $\lim_{n\to\infty}f(x_n)\le\lim_{n\to\infty}g(x_n).$ Но по определению Гейне $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{x\to x_0}f(x),\qquad\lim_{n\to\infty}g(x_n)=\lim_{x\to x_0}g(x),$ откуда и следует неравенство. $\blacksquare$

Это доказательство показывает, зачем нужно определение Гейне: теорема о функциях получилась из готовой теоремы о последовательностях в две строки.

Частые ошибки

1. Подставлять значение вместо предела. Предел не зависит от $f(x_0)$: функция Римана в точке $\frac12$ равна $\frac12$, а предел там $0$. Функция $\sin\frac1x$ в нуле не определена, но предел в нуле осмысленно обсуждать.
2. Брать в определении непроколотую окрестность. Условие $0<|x-x_0|$ (и $x_n\ne x_0$ у Гейне) обязательно; без него у функции Римана не было бы предела в рациональных точках.
3. Доказывать существование предела одной последовательностью. По Гейне нужна любая последовательность. Одна последовательность годится только для доказательства отсутствия предела (если $f(x_n)$ расходится) или вместе со второй, дающей другой предел.
4. Выбирать $\delta$, зависящее от $x$. В примере 1 $\delta=\min\{1;\frac\varepsilon5\}$ зависит только от $\varepsilon$ (и от $x_0$). Ответ вида $\delta=\frac\varepsilon{|x+1|}$ не годится.
5. Забывать ограничение «$\delta\le1$». Без него оценка $|x+1|<5$ в примере 1 не обоснована, а $\delta=\frac\varepsilon5$ при больших $\varepsilon$ слишком велико.
6. Переносить строгое неравенство на пределы. Из $f<g$ следует лишь $\lim f\le\lim g$.
7. Считать ограниченность глобальной. Теорема 2 гарантирует ограниченность только в некоторой проколотой окрестности.

Мини-тренажёр

1. Докажите по Коши, что $\lim\limits_{x\to2}(3x-1)=5$. Какое $\delta_\varepsilon$ подходит?
2. Докажите по Коши, что $\lim\limits_{x\to1}x^2=1$. Найдите $\delta$ для $\varepsilon=0{,}5$.
3. Запишите отрицание определения предела по Гейне.
4. Докажите, что $\lim\limits_{x\to0}\cos\dfrac1x$ не существует.
5. Вычислите $R\left(\frac{6}{8}\right)$, $R(0{,}35)$, $R\left(\frac1\pi\right)$ для функции Римана.
6. Где у функции $g(x)=x\,\chi(x)$ ($\chi$ — функция Дирихле) есть предел?
7. Пусть $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=-3$. Что можно сказать о знаке $f$ рядом с $x_0$? А если предел равен $0$?

Ответы

1. $|(3x-1)-5|=3|x-2|<\varepsilon$ при $|x-2|<\frac\varepsilon3$. Подходит $\delta_\varepsilon=\frac\varepsilon3$ (и любое меньшее).
2. $|x^2-1|=|x-1|\cdot|x+1|$. При $\delta\le1$ имеем $|x+1|\le|x-1|+2<3$, так что $|x^2-1|<3\delta$. Берём $\delta=\min\{1;\frac\varepsilon3\}$; при $\varepsilon=0{,}5$ получаем $\delta=\frac16$. Проверка: при $x=1+\frac16$ получаем $x^2-1=\frac{13}{36}\approx0{,}36<0{,}5$.
3. Существует последовательность $\{x_n\}$ с $x_n\in E$, $x_n\ne x_0$, $x_n\to x_0$, для которой $f(x_n)$ не стремится к $a$.
4. $x_n=\frac1{2\pi n}\to0$, $\cos\frac1{x_n}=\cos2\pi n=1\to1$; $y_n=\frac1{\pi+2\pi n}\to0$, $\cos\frac1{y_n}=\cos(\pi+2\pi n)=-1\to-1$. Пределы разные — по Гейне предела нет.
5. $\frac68=\frac34$, поэтому $R=\frac14$ (знаменатель берётся у несократимой дроби). $0{,}35=\frac7{20}$, $R=\frac1{20}$. $\frac1\pi$ иррационально, $R=0$.
6. Только в $x_0=0$, и там предел $0$: $|g(x)|\le|x|$, поэтому при $\delta=\varepsilon$ имеем $|g(x)|<\varepsilon$. В точке $x_0\ne0$ по рациональным $g(x_n)=x_n\to x_0$, по иррациональным $g(y_n)=0\to0$, а $x_0\ne0$ — предела нет.
7. При $a=-3$ по теореме о сохранении знака (с $\varepsilon=\frac32$) в некоторой проколотой окрестности $f(x)<-\frac32<0$. При пределе $0$ ничего сказать нельзя: $x$, $-x^2$, $x^2$ дают все варианты.

Шпаргалка