Лекция 10. Базис, размерность, изоморфизм линейных пространств

На лекции 9 появились линейно независимые и полные системы и лемма Штейница: ЛНЗ система не длиннее полной. Система, которая одновременно ЛНЗ и полна, называется базисом. Через базис каждый вектор получает координаты — столбец чисел, и абстрактное пространство превращается в привычное $K^n$. Отсюда главный результат лекции: конечномерные пространства над одним полем устроены одинаково, если у них одинаковая размерность.

1. Базис и размерность

1.1. Базис

Определение 1. Пусть $V$ — линейное пространство над полем $K$. Упорядоченная система векторов $e = \{e_1, e_2, \dots, e_n\} \subset V$ называется базисом $V$, если

1. $e$ — полная система: $\langle e_1, \dots, e_n \rangle = V$;
2. $e$ — линейно независимая система.

Полнота говорит, что через базис выражается любой вектор, независимость — что в базисе нет лишних векторов. Базис упорядочен: $\{e_1, e_2\}$ и $\{e_2, e_1\}$ — разные базисы, у векторов в них будут разные координаты.

1.2. Инвариантность числа векторов базиса

Теорема 1 (об инвариантности числа векторов базиса). Во всех базисах пространства $V$ одинаковое число векторов.

Доказательство. Пусть $e = \{e_1, \dots, e_n\}$ и $e' = \{e'_1, \dots, e'_k\}$ — два базиса $V$.

• $e$ полна, $e'$ линейно независима $\Rightarrow$ $k \le n$ по лемме Штейница.
• $e'$ полна, $e$ линейно независима $\Rightarrow$ $n \le k$ по лемме Штейница.

Значит, $n = k$. $\blacksquare$

1.3. Размерность

Определение 2. Размерность линейного пространства $V$ — число векторов в любом его базисе. Обозначение: $\dim V = n$.

По теореме 1 определение корректно: число не зависит от выбора базиса. Пространство, у которого есть конечный базис, называется конечномерным. Нулевому пространству $\{\theta\}$ по соглашению приписывают $\dim \{\theta\} = 0$: его базис — пустая система.

1.4. Дополнение до базиса

Сначала вспомогательный факт, на котором держится доказательство.

Утверждение 1. Если система $\{x_1, \dots, x_k\}$ линейно независима, а вектор $x$ не лежит в $\langle x_1, \dots, x_k \rangle$, то система $\{x_1, \dots, x_k, x\}$ тоже линейно независима.

Доказательство. Пусть $\alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_k x_k + \beta x = \theta$. Если $\beta \ne 0$, то $x = -\dfrac{1}{\beta}(\alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_k x_k) \in \langle x_1, \dots, x_k \rangle$ — противоречие. Значит, $\beta = 0$, остаётся $\alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_k x_k = \theta$, и по независимости все $\alpha_i = 0$. $\blacksquare$

Теорема 2 (о дополнении до базиса). Пусть $\dim V = n$ и $\{x_1, x_2, \dots, x_k\} \subset V$ — линейно независимая система. Тогда её всегда можно дополнить до базиса $V$.

Доказательство. По лемме Штейница $k \le n$: ЛНЗ система не длиннее базиса, а базис — полная система.

• Если $k = n$, система полна, а значит, это базис. Действительно, если бы нашёлся $x \notin \langle x_1, \dots, x_n \rangle$, то по утверждению 1 система $\{x_1, \dots, x_n, x\}$ была бы ЛНЗ из $n + 1$ вектора, что противоречит лемме Штейница.
• Если $k < n$, система не полна: иначе она была бы базисом из $k \ne n$ векторов, вопреки теореме 1. Значит, есть $x_{k+1} \notin \langle x_1, \dots, x_k \rangle$, и по утверждению 1 система $\{x_1, \dots, x_k, x_{k+1}\}$ линейно независима.

Повторяя второй шаг, дополним систему до $n$ векторов, сохраняя линейную независимость. По первому пункту полученная система — базис. $\blacksquare$

2. Координаты

2.1. Единственность разложения по базису

Теорема 3 (о единственности разложения). Если $e = \{e_1, \dots, e_n\}$ — базис $V$, то каждый $x \in V$ единственным образом представляется в виде

$x = \alpha_1 e_1 + \dots + \alpha_n e_n = \sum_{k=1}^{n} \alpha_k e_k.$

Доказательство. Существование разложения — это полнота базиса. Пусть разложений два:

$x = \sum_{k=1}^{n} \alpha_k e_k, \qquad x = \sum_{k=1}^{n} \beta_k e_k.$

Вычтем: $\theta = \sum_{k=1}^{n} (\alpha_k - \beta_k) e_k$. Система $\{e_1, \dots, e_n\}$ линейно независима, поэтому $\alpha_k - \beta_k = 0$, то есть $\alpha_k = \beta_k$ для всех $k$. Разложение единственно. $\blacksquare$

2.2. Координаты вектора

Определение 3. Пусть $e = \{e_1, \dots, e_n\}$ — базис $V$ и $x = \sum_{k=1}^{n} \alpha_k e_k$. Коэффициенты $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ называются координатами вектора $x$ в базисе $e$. Записывают столбцом с индексом базиса:

$x = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix}_e.$

Определение корректно благодаря теореме 3: координаты определены однозначно.

Теорема 4 (о линейности координат). Если $x = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix}_e$ и $y = \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_n \end{pmatrix}_e$, то

$x + y = \begin{pmatrix} \alpha_1 + \beta_1 \\ \vdots \\ \alpha_n + \beta_n \end{pmatrix}_e, \qquad \lambda x = \begin{pmatrix} \lambda \alpha_1 \\ \vdots \\ \lambda \alpha_n \end{pmatrix}_e \quad (\lambda \in K).$

Доказательство. По аксиомам линейного пространства $x + y = \sum_{k=1}^{n} \alpha_k e_k + \sum_{k=1}^{n} \beta_k e_k = \sum_{k=1}^{n} (\alpha_k + \beta_k) e_k, \qquad \lambda x = \sum_{k=1}^{n} (\lambda \alpha_k) e_k.$ По единственности разложения коэффициенты справа — это и есть координаты. $\blacksquare$

Иначе говоря, сложение векторов и умножение на число сводятся к тем же операциям над столбцами координат.

3. Изоморфизм линейных пространств

3.1. Определение

Определение 4. Линейные пространства $V$ и $W$ над одним полем $K$ называются изоморфными, если существует биекция $f\colon V \to W$, сохраняющая линейные операции:

1. $\forall x, y \in V\ \ f(x + y) = f(x) + f(y)$;
2. $\forall \alpha \in K,\ x \in V\ \ f(\alpha x) = \alpha f(x)$.

Такая $f$ называется изоморфизмом, а изоморфность записывается $V \cong W$.

Изоморфизм переносит любое линейное соотношение: если $\sum \alpha_k x_k = y$ в $V$, то $\sum \alpha_k f(x_k) = f(y)$ в $W$. Отсюда, в частности, $f(\theta_V) = \theta_W$: $f(\theta) = f(0 \cdot \theta) = 0 \cdot f(\theta) = \theta$.

3.2. Свойства

Утверждение 2. Если $f\colon V \to W$ — изоморфизм, то $f^{-1}\colon W \to V$ — тоже изоморфизм.

Доказательство. $f$ — биекция, поэтому $f^{-1}$ существует и биективна.

Аддитивность. Пусть $u, v \in W$. Положим $x = f^{-1}(u)$, $y = f^{-1}(v)$, $x, y \in V$. Тогда $f(x + y) = f(x) + f(y) = u + v$. Применим $f^{-1}$: $x + y = f^{-1}(u + v) \ \Rightarrow\ f^{-1}(u + v) = f^{-1}(u) + f^{-1}(v).$

Однородность — так же: $f(\alpha x) = \alpha f(x) = \alpha u$, откуда $f^{-1}(\alpha u) = \alpha x = \alpha f^{-1}(u)$. $\blacksquare$

Утверждение 3. Отношение изоморфизма $\cong$ на линейных пространствах над $K$

1. рефлексивно: $V \cong V$, изоморфизм — $\mathrm{id}\colon V \to V$;
2. симметрично: $V \cong W \Rightarrow W \cong V$, изоморфизм — $f^{-1}\colon W \to V$ (утверждение 2);
3. транзитивно: $V \cong W$ и $W \cong U$ $\Rightarrow$ $V \cong U$.

Доказательство транзитивности. Пусть $f\colon V \to W$ и $g\colon W \to U$ — изоморфизмы. Композиция биекций — биекция, и $(g \circ f)(x + y) = g(f(x) + f(y)) = g(f(x)) + g(f(y)), \qquad (g \circ f)(\alpha x) = g(\alpha f(x)) = \alpha\, g(f(x)).$ Значит, $g \circ f\colon V \to U$ — изоморфизм. $\blacksquare$

Так что $\cong$ — отношение эквивалентности, и линейные пространства делятся на классы изоморфных.

3.3. Критерий изоморфизма

Теорема 5 (критерий изоморфизма). Конечномерные линейные пространства $V$ и $W$ над полем $K$ изоморфны тогда и только тогда, когда $\dim V = \dim W$.

Ключевой шаг — каждое $n$-мерное пространство изоморфно $K^n$ (для вещественных пространств — $\mathbb R^n$).

Лемма. Если $\dim V = n$ и $e$ — базис $V$, то отображение «вектор $\mapsto$ его координаты» $x \in V \ \mapsto\ \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix}_e \in K^n$ — изоморфизм $V \to K^n$.

Доказательство. Отображение определено корректно и инъективно по теореме 3 (у вектора одни координаты, разные векторы имеют разные координаты). Сюръективно: столбцу $(\alpha_1, \dots, \alpha_n)^T$ соответствует вектор $\sum \alpha_k e_k$. Линейные операции сохраняются по теореме 4. $\blacksquare$

Доказательство теоремы 5. $(\Leftarrow)$ Пусть $\dim V = \dim W = n$. По лемме $V \cong K^n$ и $W \cong K^n$. По симметричности $K^n \cong W$, по транзитивности $V \cong W$.

$(\Rightarrow)$ Пусть $f\colon V \to W$ — изоморфизм и $e = \{e_1, \dots, e_n\}$ — базис $V$. Покажем, что $\{f(e_1), \dots, f(e_n)\}$ — базис $W$; тогда $\dim W = n$.

• Независимость: если $\sum \alpha_k f(e_k) = \theta$, то $f\left(\sum \alpha_k e_k\right) = \theta = f(\theta)$, по инъективности $\sum \alpha_k e_k = \theta$, и все $\alpha_k = 0$.
• Полнота: для $w \in W$ по сюръективности есть $x = \sum \alpha_k e_k$ с $f(x) = w$, и $w = \sum \alpha_k f(e_k)$. $\blacksquare$

4. Действия над подпространствами

Определение 5. В любом линейном пространстве $V$ есть два тривиальных подпространства: нулевое $\{\theta\}$ и само $V$.

Остальные подпространства называют нетривиальными, например прямые и плоскости через начало координат в $\mathbb R^3$.

4.1. Пересечение

Определение 6. Пусть $L_1, L_2$ — подпространства $V$. Пересечением $L_1$ и $L_2$ называется $L_1 \cap L_2 = \{x \mid x \in L_1 \wedge x \in L_2\}.$

Теорема 6. Если $L_1, L_2$ — подпространства $V$, то $L_1 \cap L_2$ — подпространство $V$.

Доказательство по критерию подпространства (теорема 2 лекции 9).

• $\theta \in L_1$ и $\theta \in L_2$, значит $\theta \in L_1 \cap L_2$, пересечение непусто.
• Если $x, y \in L_1 \cap L_2$, то $x + y \in L_1$ (так как $L_1$ замкнуто) и $x + y \in L_2$, значит $x + y \in L_1 \cap L_2$.
• Если $x \in L_1 \cap L_2$, $\alpha \in K$, то $\alpha x \in L_1$ и $\alpha x \in L_2$, значит $\alpha x \in L_1 \cap L_2$. $\blacksquare$

4.2. Объединение

Определение 7. Объединением подпространств $L_1$ и $L_2$ называется $L_1 \cup L_2 = \{x \mid x \in L_1 \vee x \in L_2\}.$

Утверждение 4. $L_1 \cup L_2$ — подпространство тогда и только тогда, когда одно из них содержится в другом: $L_1 \subseteq L_2$ или $L_2 \subseteq L_1$.

Доказательство. Если $L_1 \subseteq L_2$, то $L_1 \cup L_2 = L_2$ — подпространство. Обратно, пусть ни одно не содержит другое: есть $x \in L_1 \setminus L_2$ и $y \in L_2 \setminus L_1$. Если бы $L_1 \cup L_2$ было подпространством, то $x + y \in L_1 \cup L_2$. Пусть, скажем, $x + y \in L_1$; тогда $y = (x + y) - x \in L_1$ — противоречие. Случай $x + y \in L_2$ симметричен. $\blacksquare$

4.3. Сумма

Определение 8. Суммой подпространств $L_1$ и $L_2$ называется $L_1 + L_2 = \{x + y \mid x \in L_1 \wedge y \in L_2\}.$

Сумма — правильная замена объединению: в примере с осями $L_1 + L_2 = \mathbb R^2$, ведь $(a, b) = (a, 0) + (0, b)$. Свойства суммы разбираются дальше по курсу.

Частые ошибки

• Называть базисом любую полную систему или любую ЛНЗ систему. Нужны оба условия сразу.
• Забывать, что базис упорядочен: при перестановке векторов базиса переставляются и координаты.
• Писать координаты без указания базиса. Столбец $(1, 2)^T$ — разный вектор в разных базисах, поэтому индекс $e$ в записи $\begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\end{pmatrix}_e$ не украшение.
• В теореме о дополнении до базиса брать любую систему. Дополнить можно только линейно независимую: в зависимой уже есть лишний вектор.
• Считать изоморфными пространства над разными полями или проверять у изоморфизма только линейность. Нужна ещё биективность: отображение $\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$, $(a, b) \mapsto (a, 0)$ линейно, но не изоморфизм.
• Полагать, что объединение подпространств — подпространство. Подпространство — пересечение, а вместо объединения берут сумму.

Мини-тренажёр

1. Образуют ли базис $\mathbb R^2$ системы $\{(1, 1), (1, -1)\}$; $\{(1, 2), (2, 4)\}$; $\{(1, 0), (0, 1), (1, 1)\}$?
2. Найдите координаты вектора $(3, 1)$ в базисе $e = \{(1, 1), (1, -1)\}$.
3. Найдите размерность $\mathbb R_3[x]$ и координаты $P(x) = x^3 - 2x + 7$ в базисе $\{x^3, x^2, x, 1\}$.
4. Дополните систему $\{(1, 1, 0)\}$ до базиса $\mathbb R^3$.
5. Изоморфны ли $\mathbb R_2[x]$ и $\mathbb R^3$? $\mathbb R_2[x]$ и $\mathbb R^2$? Укажите изоморфизм, если он есть.
6. Является ли изоморфизмом $f\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$, $f(a, b) = (a + b, a - b)$? А $g(a, b) = (a + 1, b)$?
7. В $\mathbb R^3$ даны $L_1 = \{(a, b, 0)\}$ и $L_2 = \{(0, b, c)\}$. Найдите $L_1 \cap L_2$ и его размерность. Является ли подпространством $L_1 \cup L_2$?

Ответы

1. $\{(1, 1), (1, -1)\}$ — базис: два вектора, не пропорциональны, значит ЛНЗ, а по следствию теоремы 2 ЛНЗ система из $\dim \mathbb R^2 = 2$ векторов — базис. $\{(1, 2), (2, 4)\}$ — нет: $(2, 4) = 2 \cdot (1, 2)$, система зависима. $\{(1, 0), (0, 1), (1, 1)\}$ — нет: три вектора в $\mathbb R^2$ всегда зависимы, например $(1, 1) = (1, 0) + (0, 1)$.
2. $(3, 1) = \alpha (1, 1) + \beta (1, -1)$: $\alpha + \beta = 3$, $\alpha - \beta = 1$, откуда $\alpha = 2$, $\beta = 1$. Ответ: $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}_e$.
3. $\dim \mathbb R_3[x] = 4$; $P = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}_e$.
4. Например, $\{(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}$: из $\alpha(1, 1, 0) + \beta(0, 1, 0) + \gamma(0, 0, 1) = \theta$ первая координата даёт $\alpha = 0$, затем $\beta = 0$ и $\gamma = 0$. Три ЛНЗ вектора в $\mathbb R^3$ — базис.
5. $\mathbb R_2[x] \cong \mathbb R^3$: размерности равны $3$, изоморфизм $a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \mapsto (a_2, a_1, a_0)$. С $\mathbb R^2$ не изоморфно: $3 \ne 2$.
6. $f$ — изоморфизм: линеен, а из $a + b = u$, $a - b = v$ однозначно $a = \dfrac{u + v}{2}$, $b = \dfrac{u - v}{2}$, значит $f$ биективен. $g$ — нет: $g(0, 0) = (1, 0) \ne \theta$, а изоморфизм переводит нуль в нуль.
7. $L_1 \cap L_2 = \{(0, b, 0)\}$ — ось $Oy$, размерность $1$. $L_1 \cup L_2$ не подпространство: $(1, 0, 0) + (0, 0, 1) = (1, 0, 1)$ не лежит ни в $L_1$, ни в $L_2$ (ни одна плоскость не содержит другую).

Шпаргалка