Лекция 11. Формула Грассмана, прямая сумма, определитель

В конце лекции 10 появилась сумма подпространств $L_1 + L_2$ — правильная замена объединению. Теперь считаем её размерность: формула Грассмана связывает размерности суммы и пересечения. Особый случай, когда подпространства пересекаются только по нулю, — прямая сумма, в ней каждый вектор раскладывается по слагаемым однозначно. Вторая половина лекции открывает новую большую тему — определитель, который вводится не формулой, а тремя аксиомами.

1. Сумма подпространств

Определение 1. Пусть $V$ — линейное пространство, $L_1, L_2 \subseteq V$ — подпространства. Суммой $L_1$ и $L_2$ называется $L_1 + L_2 = \{x + y \mid x \in L_1 \wedge y \in L_2\}.$

Дополнение. $L_1 + L_2$ — подпространство $V$. По критерию подпространства: $\theta = \theta + \theta \in L_1 + L_2$; если $x + y$ и $x' + y'$ лежат в сумме, то $(x + y) + (x' + y') = (x + x') + (y + y')$, где $x + x' \in L_1$, $y + y' \in L_2$; аналогично $\alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$. Это наименьшее подпространство, содержащее и $L_1$, и $L_2$: $L_1 + L_2 = \langle L_1 \cup L_2 \rangle$.

2. Формула Грассмана

Теорема 1 (формула Грассмана). Если $L_1$ и $L_2$ — конечномерные подпространства $V$, то $\dim(L_1 + L_2) = \dim L_1 + \dim L_2 - \dim(L_1 \cap L_2).$

Это аналог формулы включений-исключений $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$: векторы общей части иначе были бы посчитаны дважды.

Доказательство. $L_1 \cap L_2$ — подпространство $V$ (теорема 6 лекции 10). Пусть $\dim(L_1 \cap L_2) = k$, то есть в пересечении есть базис $e = \{e_1, \dots, e_k\}$.

Пусть $\dim L_1 = k + p$, $\dim L_2 = k + q$. Система $e$ линейно независима и лежит в $L_1$, поэтому её можно дополнить до базиса $L_1$, и так же — до базиса $L_2$: $x = \{e_1, \dots, e_k, x_1, \dots, x_p\} \text{ — базис } L_1, \qquad y = \{e_1, \dots, e_k, y_1, \dots, y_q\} \text{ — базис } L_2.$

Проверим, что $x \cup y = \{x_1, \dots, x_p, e_1, \dots, e_k, y_1, \dots, y_q\}$ — базис $L_1 + L_2$.

1. $x \cup y$ — полная система в $L_1 + L_2$. Любой вектор суммы имеет вид $u + v$, где $u \in L_1$ выражается через $x$, а $v \in L_2$ — через $y$.
2. $x \cup y$ линейно независима. Возьмём линейную комбинацию, равную нулю: $\sum_{i=1}^{p} \alpha_i x_i + \sum_{i=1}^{k} \beta_i e_i + \sum_{i=1}^{q} \gamma_i y_i = \theta. \qquad (*)$ Перенесём последнюю сумму вправо: $\underbrace{\sum_{i=1}^{p} \alpha_i x_i + \sum_{i=1}^{k} \beta_i e_i}_{\in L_1} = \underbrace{-\sum_{i=1}^{q} \gamma_i y_i}_{\in L_2}.$ Слева вектор из $L_1$, справа — из $L_2$, значит $-\sum \gamma_i y_i \in L_1 \cap L_2$ и раскладывается по базису $e$: $-\sum_{i=1}^{q} \gamma_i y_i = \sum_{i=1}^{k} \delta_i e_i \ \Rightarrow\ \sum_{i=1}^{k} \delta_i e_i + \sum_{i=1}^{q} \gamma_i y_i = \theta.$ Это линейная комбинация векторов базиса $y$ пространства $L_2$, поэтому она тривиальна: $\gamma_i = 0$ для всех $i = 1, \dots, q$. Тогда $(*)$ превращается в $\sum_{i=1}^{p} \alpha_i x_i + \sum_{i=1}^{k} \beta_i e_i = \theta$ — линейную комбинацию базиса $x$ пространства $L_1$. Она тоже тривиальна: $\alpha_i = 0$, $\beta_i = 0$ для всех $i$.

Итак, $\{x_1, \dots, x_p, e_1, \dots, e_k, y_1, \dots, y_q\}$ — базис $L_1 + L_2$, и $\dim(L_1 + L_2) = p + k + q = \underbrace{(p + k)}_{\dim L_1} + \underbrace{(q + k)}_{\dim L_2} - \underbrace{k}_{\dim(L_1 \cap L_2)}. \ \blacksquare$

При $k = 0$ рассуждение то же, только система $e$ пустая.

3. Прямая сумма

3.1. Определение

Определение 2. Пусть $L_1, L_2$ — подпространства $V$. Сумма $L_1 + L_2$ называется прямой, если $L_1 \cap L_2 = \{\theta\}$. Обозначение: $L_1 \oplus L_2$.

Следствие. $\dim(L_1 \oplus L_2) = \dim L_1 + \dim L_2$.

Это формула Грассмана при $\dim(L_1 \cap L_2) = \dim\{\theta\} = 0$.

3.2. Критерий прямой суммы

Теорема 2 (критерий прямой суммы). $L_1 + L_2 = L_1 \oplus L_2 \iff \forall x \in L_1 + L_2\ \ \exists!\, x_1 \in L_1,\ x_2 \in L_2\colon\ x = x_1 + x_2.$

То есть сумма прямая ровно тогда, когда разложение каждого вектора по слагаемым единственно.

Доказательство. $(\Rightarrow)$ Пусть $L_1 \cap L_2 = \{\theta\}$, $x \in L_1 + L_2$ и у него два разложения: $x = x_1 + x_2 = y_1 + y_2, \qquad x_1, y_1 \in L_1,\ \ x_2, y_2 \in L_2.$ Вычтем: $\theta = (x_1 - y_1) + (x_2 - y_2)$, откуда $\underbrace{-(x_1 - y_1)}_{\in L_1} = \underbrace{x_2 - y_2}_{\in L_2}.$ Значит, оба вектора $x_1 - y_1$ и $x_2 - y_2$ лежат в $L_1 \cap L_2 = \{\theta\}$: $x_1 - y_1 = \theta, \quad x_2 - y_2 = \theta \ \Rightarrow\ x_1 = y_1, \quad x_2 = y_2.$ Разложение единственно.

$(\Leftarrow)$ На лекции — упражнение.

Дополнение: доказательство обратной импликации

Пусть разложение каждого вектора суммы единственно, и $z \in L_1 \cap L_2$. Тогда у $z$ есть два разложения: $z = \underbrace{z}_{\in L_1} + \underbrace{\theta}_{\in L_2} = \underbrace{\theta}_{\in L_1} + \underbrace{z}_{\in L_2}.$ По единственности первые слагаемые совпадают: $z = \theta$. Значит, $L_1 \cap L_2 = \{\theta\}$, и сумма прямая. $\blacksquare$

Достаточно проверить единственность разложения только для нуля: если $\theta = x_1 + x_2$ с $x_1 \in L_1$, $x_2 \in L_2$ влечёт $x_1 = x_2 = \theta$, то сумма прямая. Это то же самое, что линейная независимость, только для подпространств вместо векторов.

4. Определитель

4.1. Строки матрицы

Пусть $A \in M_n$ — квадратная матрица порядка $n$ над полем $K$ ($\mathbb R$ или $\mathbb C$). Будем смотреть на неё как на набор строк: $A = (A_1, \dots, A_n), \qquad A_i = (a_{i1}, \dots, a_{in}) \text{ — } i\text{-я строка}.$ Строки — векторы пространства $K^n$, поэтому их можно складывать и умножать на числа.

4.2. Аксиомы определителя

Определение 3. Определителем (детерминантом) называется функция $\det\colon M_n \to K$, удовлетворяющая трём аксиомам.

1. Полилинейность по строкам. Если $A_i = \alpha X + \beta Y$, то $\det(A_1, \dots, \underbrace{\alpha X + \beta Y}_{i}, \dots, A_n) = \alpha \det(A_1, \dots, \underbrace{X}_{i}, \dots, A_n) + \beta \det(A_1, \dots, \underbrace{Y}_{i}, \dots, A_n).$ Остальные строки при этом не меняются: $\det$ линеен по каждой строке отдельно.
2. Кососимметричность. Перестановка двух строк меняет знак: $\det(A_1, \dots, A_i, \dots, A_j, \dots, A_n) = -\det(A_1, \dots, A_j, \dots, A_i, \dots, A_n).$
3. Нормировка на единичной матрице $E_n$. Пусть $e = \{e_1, \dots, e_n\}$ — стандартный базис $K^n$. Тогда $\det(e_1, \dots, e_n) = \det E_n = 1.$

Важно, что определение не даёт формулы: мы описываем, как должна себя вести функция, и дальше выясняем, что такая функция ровно одна.

4.3. Свойства определителя

Свойство 1 (равные строки). Если у матрицы $A$ есть две одинаковые строки, то $\det A = 0$: $\det(A_1, \dots, \underbrace{X}_{i}, \dots, \underbrace{X}_{j}, \dots, A_n) = 0.$

Доказательство следует из кососимметричности. Переставим две равные строки: матрица не изменилась, а знак определителя сменился. Значит, $\det A = -\det A$, то есть $2 \det A = 0$ и $\det A = 0$. $\blacksquare$

Деление на $2$ здесь законно, потому что $K = \mathbb R$ или $\mathbb C$.

Свойство 2 (пропорциональные строки). Если одна строка матрицы пропорциональна другой, то определитель равен $0$.

Доказательство аналогично свойству 1. Если $A_j = \lambda A_i$, то по полилинейности множитель $\lambda$ выносится из $j$-й строки: $\det A = \lambda \det(\dots, A_i, \dots, A_i, \dots) = \lambda \cdot 0 = 0$. $\blacksquare$

Свойство 3 (линейная комбинация строк). Определитель не меняется, если к строке прибавить другую строку, умноженную на число: $\det(A_1, \dots, A_i + \lambda A_j, \dots, A_j, \dots, A_n) = \det(A_1, \dots, A_i, \dots, A_j, \dots, A_n) + \lambda \underbrace{\det(A_1, \dots, A_j, \dots, A_j, \dots, A_n)}_{= 0}.$

Первое равенство — полилинейность по $i$-й строке, второе слагаемое равно нулю по свойству 1.

Свойство 4 (нулевая строка). Если в матрице есть нулевая строка, её определитель равен $0$: $\det(A_1, \dots, \underbrace{\theta}_{i}, \dots, A_n) = 0.$

Доказательство следует из полилинейности: $\theta = 0 \cdot \theta$, и множитель $0$ выносится за знак определителя. $\blacksquare$

4.4. Пример: матрица порядка 2

Выведем формулу для $\det A$, $A \in M_2$, пользуясь только аксиомами. $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, \qquad A_1 = (a_{11}, a_{12}), \quad A_2 = (a_{21}, a_{22}).$ В стандартном базисе $e_1 = (1, 0)$, $e_2 = (0, 1)$ пространства $\mathbb R^2$: $A_1 = a_{11} e_1 + a_{12} e_2, \qquad A_2 = a_{21} e_1 + a_{22} e_2.$ Раскрываем по полилинейности сначала первую строку, потом вторую:

$$\begin{aligned} \det A &= \det(a_{11} e_1 + a_{12} e_2,\ A_2) = a_{11} \det(e_1, A_2) + a_{12} \det(e_2, A_2) \\ &= a_{11}\bigl(a_{21} \underbrace{\det(e_1, e_1)}_{0} + a_{22} \det(e_1, e_2)\bigr) + a_{12}\bigl(a_{21} \det(e_2, e_1) + a_{22} \underbrace{\det(e_2, e_2)}_{0}\bigr) \\ &= a_{11} a_{22} \det(e_1, e_2) + a_{12} a_{21} \det(e_2, e_1) = (a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) \det(e_1, e_2) \\ &= a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}. \end{aligned}$$

Нули — по свойству 1, $\det(e_2, e_1) = -\det(e_1, e_2)$ — по кососимметричности, $\det(e_1, e_2) = 1$ — по нормировке.

$\boxed{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}$

Например, $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = 2$.

4.5. Единственность определителя

Теорема 3. Функция $\det\colon M_n \to K$, удовлетворяющая трём аксиомам, единственна.

Доказательство. Пусть $A \in M_n$, $A = (A_1, \dots, A_n)$. Каждая строка раскладывается по стандартному базису $e = \{e_1, \dots, e_n\}$: $A_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} e_j, \qquad i = 1, \dots, n.$ Раскроем определитель по полилинейности по каждой строке — так же, как для $n = 2$: $\det A = \det\Bigl(\sum_{j_1=1}^{n} a_{1 j_1} e_{j_1},\ \dots,\ \sum_{j_n=1}^{n} a_{n j_n} e_{j_n}\Bigr) = \sum_{j_1=1}^{n} \sum_{j_2=1}^{n} \dots \sum_{j_n=1}^{n} a_{1 j_1} \dots a_{n j_n} \det(e_{j_1}, e_{j_2}, \dots, e_{j_n}).$ Если среди $j_1, \dots, j_n$ есть одинаковые, то в $\det(e_{j_1}, \dots, e_{j_n})$ две равные строки, и слагаемое равно нулю по свойству 1. Остаются наборы, в которых все $j_1, \dots, j_n$ различны, то есть перестановки $\sigma$ чисел $1, \dots, n$ с $j_i = \sigma(i)$: $\det A = \sum_{\sigma \in S_n} a_{1\sigma(1)} \dots a_{n\sigma(n)} \det\bigl(e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(n)}\bigr).$ Здесь $S_n$ — множество всех перестановок $n$ элементов, их $n!$.

На этом лекция закончилась.

Дополнение. Окончание доказательства. Осталось увидеть, что каждое $\det(e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(n)})$ определяется аксиомами. Строки $e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(n)}$ — это строки единичной матрицы в другом порядке. Переставляя по две строки, их можно расставить по местам, например пузырьком. Каждая перестановка двух строк меняет знак, а в конце получается $\det E_n = 1$. Значит, $\det\bigl(e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(n)}\bigr) = (-1)^{t},$ где $t$ — число сделанных перестановок двух строк. Итог: $\det A$ выражается только через элементы $a_{ij}$, то есть любые две функции, удовлетворяющие аксиомам, совпадают. $\blacksquare$

Знак $(-1)^t$ называют знаком перестановки $\sigma$, $\operatorname{sgn} \sigma$, и формула принимает вид $\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn} \sigma \cdot a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \dots a_{n\sigma(n)}.$

При $n = 2$ перестановок две: тождественная ($\operatorname{sgn} = 1$) даёт $a_{11} a_{22}$, а перестановка $1 \leftrightarrow 2$ ($\operatorname{sgn} = -1$) — слагаемое $-a_{12} a_{21}$. Это ровно формула из раздела 4.4.

Частые ошибки

• Путать сумму подпространств с объединением: $L_1 + L_2$ состоит из сумм $x + y$, а не из векторов, лежащих в одном из $L_i$.
• Считать $\dim(L_1 + L_2) = \dim L_1 + \dim L_2$ всегда. Это верно только для прямой суммы, в общем случае вычитается $\dim(L_1 \cap L_2)$.
• Определять прямую сумму условием $L_1 \cap L_2 = \varnothing$. Пересечение подпространств всегда содержит $\theta$; условие прямой суммы — $L_1 \cap L_2 = \{\theta\}$.
• Выносить множитель из матрицы целиком: $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$, а не $\lambda \det A$.
• Считать определитель линейным по всей матрице: $\det(A + B) \ne \det A + \det B$. Линейность — по одной строке при остальных фиксированных.
• Забывать знак при перестановке строк: $\det(e_2, e_1) = -1$, а не $1$.

Мини-тренажёр

1. В $\mathbb R^4$ подпространства $L_1$ и $L_2$ имеют размерности $3$ и $2$, а $L_1 + L_2 = \mathbb R^4$. Найдите $\dim(L_1 \cap L_2)$. Прямая ли сумма?
2. В $\mathbb R^3$: $L_1 = \langle (1, 0, 0), (0, 1, 0) \rangle$, $L_2 = \langle (1, 1, 1) \rangle$. Прямая ли сумма $L_1 + L_2$? Чему равна её размерность?
3. Могут ли две двумерные плоскости в $\mathbb R^3$ через начало координат образовывать прямую сумму?
4. Вычислите $\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 5 & 4 \end{vmatrix}$ и $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{vmatrix}$. Почему второй равен нулю, не считая?
5. $\det A = 5$, $A \in M_3$. Найдите $\det(2A)$ и определитель матрицы, полученной из $A$ перестановкой первой и третьей строк.
6. Пользуясь только аксиомами, найдите $\det(e_2, e_3, e_1)$ в $M_3$.

Ответы

1. $\dim(L_1 \cap L_2) = 3 + 2 - 4 = 1$. Сумма не прямая: пересечение ненулевое.
2. $(1, 1, 1) \notin L_1$: у векторов $L_1$ третья координата $0$. Поэтому $L_1 \cap L_2 = \{\theta\}$ (пересечение — подпространство прямой $L_2$, не совпадающее с ней), сумма прямая, $\dim = 2 + 1 = 3$, то есть $L_1 \oplus L_2 = \mathbb R^3$.
3. Нет: по формуле Грассмана $\dim(L_1 \cap L_2) = 4 - \dim(L_1 + L_2) \ge 4 - 3 = 1$.
4. $2 \cdot 4 - (-3) \cdot 5 = 23$. Второй: $1 \cdot 6 - 2 \cdot 3 = 0$, и это видно сразу — вторая строка $(3, 6) = 3 \cdot (1, 2)$, свойство 2.
5. $\det(2A) = 2^3 \cdot 5 = 40$. Перестановка двух строк: $-5$.
6. Переставим 1-ю и 3-ю строки: $(e_1, e_3, e_2)$, знак $-$. Переставим 2-ю и 3-ю: $(e_1, e_2, e_3)$, знак ещё раз меняется. Итого $(-1)^2 \cdot 1 = 1$.

Шпаргалка